Hugo Pérez (PUC/CONICYT)

En este texto argumento que tanto el espacio como el tiempo son discretos. ¿Qué quiere decir que el espacio y el tiempo sean discretos? Considere cualquier magnitud ya sea temporal o espacial. Tome la mitad de esa magnitud y divida a la mitad una vez más. Continúe con el proceso de tomar la mitad de la mitad que se vaya obteniendo. Ahora bien, ¿puede seguir con tal proceso ad infinitum? Si se responde que no es posible llevar ese proceso a un número actualmente infinito de partes, entonces se está aceptando que esa magnitud, temporal o espacial, es discreta. De lo contrario, se está diciendo que es densa y/o continua.         

Debo hacer dos aclaraciones antes de seguir. Primero, cuando se pregunta si se puede continuar el proceso de división de una magnitud, no se pregunta por la posibilidad de tal proceso en las circunstancias de hoy en día. Obviamente es imposible en este sentido dividir algo una cantidad actualmente infinita de veces. No hay cómo dividir un pedazo de madera una cantidad actualmente infinita de veces. No hay tiempo suficiente ni herramientas adecuadas para ello. Cuando se pregunta si se puede dividir algo una cantidad actualmente infinita de veces se pregunta si una magnitud puede tener una cantidad actualmente infinita de partes estén o no dadas las condiciones para descubrir y alcanzar dichas partes. Es decir, se pregunta por una posibilidad ontológica o metafísica en lo que hay. Segundo, cuando se menciona un Espacio-Tiempo continuo, se quiere decir que las magnitudes temporales y espaciales pueden ser divididas una cantidad actualmente infinita de veces. Es importante no confundir esto con decir que el espacio y el tiempo forman un continuo. Esto último quiere decir que se está considerando al espacio y al tiempo como una unidad de cuatro dimensiones en algún modelo cosmológico. Así, se podría decir que un Continuo Espacio-Tiempo es continuo o discreto. Pero, dado que suena redundante y confuso, sólo me limitaré a decir «Espacio-Tiempo» a secas.

Habiendo aclarado estos dos puntos, paso a caracterizar algo más las posiciones que serán discutidas. Como mencioné, si uno niega la posibilidad de dividir en una cantidad actualmente infinita de partes cualquier magnitud espacial o temporal, entonces subscribe un Espacio-Tiempo discreto. En otras palabras, se aceptan las siguientes dos descripciones del mundo como verdaderas:

 

∀t∃t’(t < t’ ⊃ ¬∃t’’(t < t’’ < t’))                         (i)

y

∀s∃s’(s < s’ ⊃ ¬∃s’’(s < s’’ < s’))                      (ii)

 

Aquí las unidades temporales t, t’, t”, . . . pertenecen al conjunto T. Este conjunto posee un orden discreto representado por <. Lo mismo sucede con el conjunto S de unidades espaciales s.

 

Ahora bien, negando el cuantificador existencial con menor alcance de las descripciones (i) y (ii) se obtiene:

 

∀t∃t’(t < t’ ⊃ ∃t’’(t < t’’ < t’))                           (iii)

y

∀s∃s’(s < s’ ⊃ ∃s’’(s < s’’ < s’))                        (iv)

 

Estas descripciones afirman que, para toda unidad temporal o espacial, habría una unidad de su tipo contigua y que, entre ese par de unidades, siempre habrá una unidad contigua del mismo tipo entre las dos. Además, los conjuntos de unidades temporales y espaciales no serían los mismos. Estas colecciones T’ y S’ tendrían muchos más miembros. Quien acepte las descripciones (iii) y (iv) acepta un Espacio-Tiempo denso. Dado que en cada par de unidades temporales o espaciales siempre habrá una tercera unidad, entonces siempre es posible dividir la magnitud una vez más. Habrá una cantidad potencialmente infinita de nuevas divisiones posibles.

Si, además de las dos últimas descripciones, uno reconoce la existencia de un límite al que tienden estas divisiones, entonces subscribe un Espacio- Tiempo continuo. Al tomar partes más pequeñas una y otra vez, uno tiende a un límite tanto en el espacio, el punto, como en el tiempo, el instante. Además, se le da realidad ontológica a estos puntos e instantes en virtud de su pertenencia a cierta magnitud. Es decir, tales límites existen. Así, el defensor del Espacio-Tiempo continuo sostiene que una magnitud espacial o temporal posee una cantidad actualmente infinita de partes.^[1]

En este punto, el lector podría preguntar por qué razón sólo considero las concepciones discreta y continua del Espacio-Tiempo en el título. Esto es porque la posición que sostiene un Espacio-Tiempo denso colapsa en una posición continua. Dos factores son los que producen este colapso. Primero, dado que el defensor del Espacio-Tiempo denso acepta que siempre podrá haber una unidad entre un par de unidades espaciales o temporales, se compromete a aceptar que habrá una cantidad potencialmente infinita de nuevas unidades. Es decir, si siempre es posible dividir una vez más una magnitud, la cantidad de partes obtenidas formarán un infinito potencial en cuanto la cantidad de partes siempre irá en aumento, pero siempre será finita. Sin embargo, esto supone un problema para el defensor de un Espacio-Tiempo denso cuando se considera que esas partes deberían tener una realidad ontológica. Si esas partes existen—aunque obtenerlas sea sólo una posibilidad lógica en virtud de la consistencia de su postulación— entonces pueden formar un conjunto. Pero un conjunto formado por divisiones posibles de un proceso potencialmente infinito es un conjunto actualmente infinito formado por partes posibles. Esto es justamente lo que sostiene el defensor de un Espacio-Tiempo continuo: que hay un límite al que tienden estas divisiones y que el conjunto de estas partes es actualmente infinito. Se podría negar que tales partes posibles existan en absoluto. Pero entonces, se estaría diciendo lo mismo que argumenta el defensor del Espacio-Tiempo discreto: que la descripción de una división ad infinitum de cierta magnitud no caracteriza el mundo, aunque sea consistente. Además, es imposible negar que las divisiones posibles formen conjuntos. Una vez se ha considerado la totalidad de miembros que podrían resultar en una división sin fin, no se puede pensar tal totalidad sin conformar un conjunto. Lo único que le queda al defensor del Espacio-Tiempo denso es aceptar la realidad del límite al que tienden las divisiones a las que subscribe.^[2]

Segundo, la principal diferencia entre un Espacio-Tiempo denso de uno continuo es la aceptación de un límite. Sin embargo, como veremos, es esta noción la que permite al defensor del Espacio-Tiempo continuo dar respuesta a los problemas que las paradojas de Zenón presentan. Si se quiere dar algún sentido a las preguntas presentadas por Zenón en contra de la división ad infinitum, se debe aceptar de alguna manera la noción de límite.

Paso ahora a presentar las paradojas de Zenón que motivan en un comienzo la discusión sobre un Espacio-Tiempo discreto o continuo. Introduzco de esta manera los problemas a los que se enfrentan estas dos posiciones. Una vez que se hayan discutido tales problemas, se verá que, si bien ambas posiciones son consistentes, la posición de un Espacio-Tiempo discreto supera mejor los problemas presentados. Con ello, concluyo que es más racional creer en un Espacio-Tiempo discreto en lugar de uno continuo.

I. Las Paradojas de Zenón

Muchas son las paradojas que Zenón de Elea presentó en contra de la realidad del movimiento y sosteniendo la ilusión de un mundo con partes en algún grado. Al igual que su profesor Parménides, el mundo debía ser un único ente indivisible que no llegaba a ni cesaba de ser. Sin embargo, sólo cuatro paradojas han llegado a nuestros días con la suficiente relevancia. Junto a estas, una quinta paradoja puede mencionarse como problema subyacente en las cuatro paradojas que mencionaremos a continuación.^[3]

I.I. La Paradoja del Estadio

Imagínese un estadio con tres hileras de cuatro cuerpos indivisibles cada una. La primera hilera está a un extremo izquierdo, la segunda hilera está en medio del estadio y la tercera hilera está al extremo derecho. La primera y tercera hileras comienzan a avanzar hacia el medio mientras que la segunda hilera permanece quieta. Imagínese además que las hileras se mueven durante un tiempo mínimo indivisible tal que cada vez que den un paso, por así decirlo, una unidad de este tiempo ha transcurrido.

Ahora bien, dado suficiente tiempo, se observa que las tres hileras están alineadas. Es decir, a un miembro de una de las hileras le corresponde un miembro de cada una de las otras dos hileras. Imagínese ahora que la primera y la tercera hileras dan un paso más hacia la dirección en que se dirigían. ¿Qué ocurrió con la formación? Ahora, tres miembros de cada una de las hileras en movimiento están alineados con la hilera de en medio, mientras que sólo dos miembros de las hileras en movimiento se corresponden.

El problema se produce porque se estipuló que sólo un paso se da por unidad de tiempo. Pero ha sucedido que, en una unidad de tiempo, las hileras en movimiento están desalineadas por dos pasos entre sí y por un paso con respecto a la hilera de en medio.

Otro problema es determinar cuándo se alinearon el segundo cuerpo de la primera hilera—contando desde izquierda a derecha—con el tercer cuerpo de la tercera hilera—contando de izquierda a derecha también—. Cuando las tres hileras estaban en alineación con todos sus miembros, el segundo cuerpo de la primera hilera estaba a la izquierda mientras que el tercer cuerpo de la tercera estaba a la derecha. Una unidad de tiempo indivisible después, el segundo miembro de la primera hilera está a la derecha y el tercer miembro de la tercera hilera está a la izquierda. ¿Cuándo se alinearon? Dado un Espacio-Tiempo discreto, no es posible decir que ellos se alinearon a la mitad de la unidad de tiempo en la que el movimiento tuvo lugar.

I.II. La Paradoja de la Flecha

Considérese una flecha en pleno vuelo. Ahora, considérese tal flecha en un instante t. Según Zenón, la flecha estaría en reposo en ese instante t ya que estaría ocupando el mismo espacio de acuerdo con su forma y tamaño durante todo t. Ahora bien, al instante siguiente t’, también estaría en reposo ya que durante todo ese nuevo instante estaría ocupando el mismo espacio de acuerdo con su forma y tamaño. Si el tiempo se constituye de instantes y en cada uno de los instantes la flecha estuvo en reposo, entonces la flecha nunca se movió. ¿Cómo es posible que la flecha estuviese en vuelo desde un comienzo si quiera?

Otra manera de presentar la paradoja es preguntar la velocidad de la flecha a cada uno de los instantes. Porque la flecha está ocupando el mismo espacio de acuerdo con su forma y tamaño durante todo el instante, la distancia recorrida es cero. Dado que el instante es el límite al que tienden las divisiones ad infinitum del tiempo, tiende a tener una extensión nula o, mejor dicho, cero. Pero entonces calcular la velocidad de la flecha es imposible ya que la fracción 0/0 nada nos dice.

I.III. Aquiles y la Tortuga

Imagínese una carrera entre una tortuga y Aquiles. Ambos comenzarían en el punto A pero la tortuga iniciaría antes con ventaja. Después de cierto tiempo, Aquiles podría comenzar. Parece ser obvio que, en algún momento dado, Aquiles alcanzará y superará a la tortuga que es mucho más lenta. Pero considérese que la tortuga está en el punto B cuando Aquiles comienza su persecución en el punto A. Cuando Aquiles haya alcanzado el punto B, la tortuga habrá avanzado al punto C. De la misma manera, cuando Aquiles haya alcanzado el punto C, la tortuga habrá llegado a un punto D. Cada vez que Aquiles haya alcanzado el punto donde la tortuga se encontraba en determinado momento, la tortuga habrá avanzado a otro punto sin importar cuán corta sea la distancia recorrida esta vez. Sería imposible para Aquiles alcanzar la tortuga. Pero esto va en contra de lo que hace un momento se había dicho de que era obvio que en algún momento el veloz Aquiles alcanzaría y superaría a la lenta tortuga.

I.IV. La Paradoja de la Dicotomía o de la Pista de Carreras

Imagínese un corredor que debe recorrer cierta pista hasta su final. Esta tarea parece ser fácilmente cumplida. No obstante, la paradoja hace notar que para que el corredor llegue al final, debe primero recorrer la mitad de esa pista. Una vez haya recorrido esa mitad, deberá recorrer la otra. Sin embargo, para recorrer la mitad restante, debe recorrer la mitad de lo que le resta. Es decir, debe alcanzar un cuarto de la pista. Pero una vez haya alcanzado ese cuarto, deberá recorrer a su vez un octavo y así ad infinitum. No importa cuánto se acerque al final de la pista, el corredor nunca logrará llegar a la meta. Siempre habrá un nuevo punto al que debe llegar.

Otra manera de presentar la paradoja es hacer notar que para recorrer la totalidad de la pista, el corredor debe llegar a la mitad. Pero para llegar a la mitad, debe llegar primero a un cuarto de la pista. A su vez, para alcanzar el cuarto de la pista, debe recorrer un octavo y así siempre habrá un punto al que deberá llegar primero para comenzar su recorrido.

La primera formulación de la paradoja de la dicotomía mostraría que una tarea compuesta de una infinidad actual de sub-tareas no puede ser finalizada. La segunda formulación mostraría que una infinidad actual de sub-tareas no puede si quiera ser iniciada. Sin embargo, esto va en contra de la creencia común de que recorrer la pista era una tarea sencillamente realizable.

I.V. Extensión y Divisibilidad: La Paradoja de la Pluralidad

Un quinto problema y que subyace a los cuatro anteriores es la paradoja de la Pluralidad. Esta paradoja representaría un problema a toda visión de mundo que acepte extensiones divisibles en algún grado ya sea actualmente infinito o no.

Tómese cualquier magnitud finita ya sea un intervalo de tiempo o de espacio. Esta magnitud tendrá una extensión. Ahora, sería propio de algo con extensión que pueda ser dividido. Así que lleve a cabo un proceso de división. A cierto punto se habrá alcanzado ya sea una cantidad actualmente infinita de puntos iguales, una cantidad actualmente infinita de partes iguales con extensión o una cantidad finita de partes iguales.

Si se obtiene la primera opción, los puntos no tienen extensión y surge el problema de que una cantidad actualmente infinita de puntos iguales sin extensión no pueden generar algo con extensión. ¿Cómo podría algún conjunto de miembros sin extensión originar una magnitud con extensión, aunque su cantidad sea actualmente infinita?

Si se obtiene la segunda opción, habría una cantidad actualmente infinita de partes iguales con extensión después del proceso de división. Pero entonces, la unidad de una cantidad actualmente infinita de partes iguales con extensión daría como resultado una magnitud infinita en lugar de la magnitud finita de la cual las partes se generaron.

Imagínese ahora que se obtiene la tercera opción. Se llega a una cantidad finita de partes iguales. Si este es el caso, entonces estas partes tienen extensión o no la tienen. Si la tienen, entonces pueden ser divididas aún más generando el problema de que se deberá llegar a las dos opciones anteriores o a un conjunto finito de partes sin extensión. Si no la tienen, entonces uno puede preguntar de nuevo cómo la unión de un conjunto de miembros sin extensión puede generar una unidad con extensión.

II. Consistencia

Si bien estas paradojas buscan mostrar que la extensión y el movimiento son ficciones creadas por los seres humanos, tanto los defensores de la continuidad del Espacio-Tiempo como los defensores de un Espacio-Tiempo discreto buscan responder a estos problemas. Dando respuesta a estas paradojas se busca negar la conclusión parmenídea y mostrar la consistencia de sus posiciones.

El defensor de un Espacio-Tiempo discreto debe lidiar con la paradoja del estadio, con la paradoja de la flecha y con la paradoja de la pluralidad. En cambio, el defensor de un Espacio-tiempo continuo debe resolver los problemas presentados por la paradoja de la flecha, la paradoja de Aquiles y la tortuga, la paradoja de la pista y la paradoja de la pluralidad. En esta sección presentaré cómo ambas posiciones tratan con sus problemas.

II.I. El Espacio-Tiempo Discreto

¿Cómo responde el defensor del Espacio-Tiempo discreto a los problemas presentados arriba? Una buena manera de comenzar es hacerse cargo de responder el problema presentado por la paradoja de la pluralidad.

Considérese cualquier magnitud finita ya sea un intervalo de tiempo o de espacio con extensión. ¿Qué sucede cuando se lleva a cabo el proceso de división? Quien propone un Espacio-Tiempo discreto dirá que a cierto punto se habrá alcanzado una cantidad finita de partes iguales. En otras palabras, es imposible dividir cualquier magnitud una cantidad actualmente infinita de veces.

Pero entonces, uno puede preguntar si tales partes tienen o no extensión. Dado que se ha propuesto el fin del proceso de división, no se puede decir que estas partes tienen extensión. La opción que queda, por lo tanto, es aceptar que estas partes no tienen extensión.^[4]

Siguiendo a van Bendegem (2011), llamaré a estas unidades mínimas indivisibles Chronones, en el caso del tiempo, y Hodones, en el caso del espacio.

Ahora bien, ¿cómo el defensor del Espacio-Tiempo discreto puede aceptar que tales unidades indivisibles, chronones y hodones, puedan ser parte de una magnitud con extensión cuando éstas mismas tienen extensión nula? La respuesta más sencilla es hacer notar que la conjunción de los siguientes enunciados no es contradictoria:

1. La extensión del intervalo temporal o espacial A no es igual a 0.
2. Un chronon c u hodon h pertenece a A.
3. c o h tienen extensión igual a 0.

Como se puede ver, no hay problema lógico en afirmar que un conjunto posea cierta propiedad mientras que sus partes carezcan de tal característica. Por ejemplo, un objeto O puede tener la propiedad de ser idéntico a O, o sea, idéntico a sí mismo, pero sus partes no pueden no pueden tener la propiedad de ser idénticas a O. Una casa puede tener la propiedad de ser grande, pero está formada de partes pequeñas. Dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno no poseen todas las propiedades que normalmente le atribuimos al agua. Por lo tanto, no habría nada contradictorio en decir que la extensión es una propiedad emergente que se manifiesta cuando cantidad de unidades mínimas indivisibles espaciales o temporales se reúnen (ídem, 148-50).

¿Cómo se soluciona la paradoja de la flecha? Si la flecha es considera- da en un chronon, la flecha estaría en reposo porque estaría ocupando el mismo espacio de acuerdo con su forma y tamaño durante todo ese chronon de extensión cero. En otras palabras, la fracción para calcular su velocidad sería: 0/0.

La respuesta a este problema reside en cómo considerar el movimiento. En primera instancia, se considera que algo está en movimiento, no sólo porque hay cierta distancia recorrida en cierto tiempo, sino que además hay otros factores en juego como las fuerzas aplicadas al objeto en movimiento. Es decir, podemos negar que el objeto esté en reposo durante determinado chronon porque está ocupando el mismo espacio de acuerdo con su forma y tamaño.

Pero la solución no acaba ahí. Uno puede negar también que el movimiento debe ser considerado en un chronon. El enunciado relevante en este caso es formulado en la Física de Aristóteles (239b30) cuando éste discute a Zenón:

 

«Lo que está en movimiento está siempre en un ahora.»

 

En otras palabras, la paradoja pide considerar el movimiento en un «ahora». Por «ahora» entiéndase un instante o chronon. Pero no hay razón para aceptar esta premisa. ¿Por qué debería aceptarse que algo se está dando en un instante o en un chronon? Lo que hay es el movimiento de una flecha de un lugar a otro en cierto intervalo de tiempo. De ahí uno puede abstraer la posición de la flecha en determinado instante o chronon. Sin embargo, esa abstracción no debería decir nada sobre el movimiento y, por lo tanto, no debería exigirse una información alguna de modo que suponga un problema (Strobach 2013, 39-43).

¿Cómo debería entenderse el movimiento entonces? En lugar de describir el movimiento de la flecha haciendo referencia a instantes o chronones, se debe calcular su movimiento de acuerdo con cómo el objeto se mueve alrededor de ese instante o chronon. O sea, se debe hacer uso de la idea de límite. Ciertamente conocer la velocidad a dado instante o chronon es imposible ya que la fracción 0/0 nada dice. Pero si es posible idealizar tal velocidad si se considera lo que ocurre a medida que nos acercamos a ese instante o chronon. Así, el límite, el cociente entre la distancia y el tiempo de la flecha a determinado instante o chronon, será la idealización no verificable a la cual se acerca una secuencia de cálculos de la velocidad de la flecha en intervalos mayores—y por ello con sentido—mientras se aproximan a tal instante o chronon (Ray 2014, cap. 1).

Además, la descripción de un Espacio-Tiempo discreto que sea coherente considera a los hodones y chronones en conjunto con otros hodones y chronones. Un modelo discreto espacio-temporal requiere que la discreción se funde en la contigüidad inmediata. Considérese el modelo presentado por van Bendegem (2011, 150-52), por ejemplo, en el quedonde c está para chronon y se lee como que, necesariamente, dos chronones, 1 y 2, son contiguos si, y sólo si, no existe un tercer chronon tal que esté entre 1 y 2 o que esté entre 2 y 1. Esta definición de discreción permite definir a su vez la noción de intervalo donde un intervalo I es un subconjunto del conjunto de chronones tal que para todo chronon que pertenezca a I, hay otro chronon tal que necesariamente ambos sean contiguos. Esto nos lleva finalmente a la definición de una función de distancia donde la distancia de un intervalo de tiempo, cuyas unidades mínimas indivisibles límites son ca y cd, d(ca, cd) es igual a su cardinalidad menos 1. Es decir, la distancia de cualquier intervalo sería la cantidad de miembros que posee menos uno. Llévese estas consideraciones a los aspectos espaciales también y se tendrá un modelo describiendo un Espacio-Tiempo discreto. De este modo, lo que funda un modelo discreto es la noción de contigüidad entre dos unidades mínimas indivisibles. El hecho primitivo de un modelo discreto espacio-temporal es la presencia de dos unidades mínimas indivisibles en inmediata vecindad. Visto de este modo, no es extraño que cuando se pregunta por lo que sucede dentro de una de estas unidades ninguna información pueda darse.

Por último, queda responder a los problemas que presenta la paradoja del estadio. ¿Cómo es posible que, en un movimiento, el cual duró sólo la distancia de una unidad mínima indivisible a otra, las hileras en movimiento estén desalineadas la una de la otra por dos miembros, pero sólo están desalineadas por un miembro con respecto a la hilera en reposo? Esta paradoja es más bien inocua. Sólo se debe notar que la velocidad de una hilera en movimiento en referencia a la hilera en reposo es diferente a la velocidad con respecto a la otra hilera en movimiento. El error residiría en identificar las velocidades de un cuerpo con respecto a distintos puntos de referencia. Si se pregunta en qué momento se alinearon el segundo miembro de la primera hilera y el tercer miembro de la tercera, se responde que no hubo un momento de alineación. Nada exige una alineación espacio-temporal y, por tanto, no debería requerirse una.

II.II. El Espacio-Tiempo Continuo

Pasando a considerar las dificultades de un Espacio-Tiempo continuo, ¿cómo responde su defensor a los problemas planteados por las paradojas de Zenón? Considérese una vez más la paradoja de la pluralidad. En su caso, diría que, al dividir la magnitud finita, se llegaría a una cantidad actualmente infinita de puntos y, en el caso temporal, instantes.

De la misma manera que el defensor del Espacio-Tiempo discreto con los hodones y chronones, el defensor de la continuidad sostendría que no hay nada contradictorio en que una infinidad actual de puntos o instantes sin extensión formen una magnitud finita con extensión. La propiedad de un objeto no necesariamente se presenta en sus partes.

Pasando a la paradoja de la flecha, también se diría que se debe considerar el movimiento de la flecha en un instante como el límite al que tienden las otras mediciones del movimiento a mayor escala. A medida que los cálculos se acercan a intervalos menores, se puede llegar a la idealización de lo que ocurriría en un determinado instante.

Ahora bien, el defensor de la continuidad hace uso de la misma noción de límite para resolver las dos paradojas restantes. Incluso podría afirmar que la paradoja de Aquiles y la tortuga junto con la paradoja de la pista son las contrapartes espaciales de la paradoja de la flecha, la que supone un problema temporal.

Así, en el caso de la pista, se dirá que el corredor recorre toda la pista porque el movimiento que lleva a cabo tiende a un límite. Ese límite es la distancia total de la pista: primero alcanza la mitad, luego tres cuartos, luego siete octavos y así cada vez más cerca de la meta. Ciertamente es una serie actualmente infinita la que debería recorrer. Pero el recorrido tiende a un límite al que se acerca cada vez más. Por lo tanto, se dice que la suma de esa serie tiende a la distancia total de la pista que es finita.

De la misma manera se puede dar respuesta a la paradoja de Aquiles y la tortuga. Se observa que cada vez más Aquiles se acerca a la tortuga. También se observa que las velocidades de Aquiles y de la tortuga son constantes. De esta manera, se deja a un lado las nuevas distancias recorridas por la tortuga que generarían el problema. Se dice que la carrera de Aquiles tiende a un punto límite donde alcanza y supera a la tortuga.

Lo importante es notar que, en todas estas soluciones, no se responde qué es lo que está ocurriendo al instante y punto en el que el corredor alcanza la meta. Tampoco se pregunta sobre el instante y punto donde Aquiles alcanza y supera a la tortuga. Lo que se informa es lo que ocurre a medida que los corredores se acercan a tales puntos. Luego se idealiza tal límite de acuerdo con lo que debería ocurrir en la realidad y de acuerdo con los resulta- dos que se han producido durante las tareas hechas en la secuencia. De la misma manera que no es informativo preguntar por el resultado de ciertas fórmulas matemáticas, si no que se debe observar a la secuencia de resultados que se producen mientras nos acercamos a ella; se nos pide resolver estas paradojas preguntando por la secuencia en lugar del instante y punto en que algo sucede (véase Ray, 2014, cap. 1).

III. Posibilidad

Todas estas respuestas dan una visión coherente y consistente de parte de una posición discreta como continua del Espacio-Tiempo. Sin embargo, consistencia no implica posibilidad y mucho menos realidad. Los modelos espacio-temporales considerados no presentan enunciados contradictorios. No obstante, su aplicabilidad a la realidad puede producir problemas. Argumento en esta sección que la aplicación de un modelo discreto tiene mayores oportunidades de éxito y, por tanto, es más racional creer que su descripción de mundo es la verdadera.

III.I. La Continuidad no puede describir al Espacio-Tiempo

Lamentablemente, la descripción de tiempo y espacio continuos no disipa todas las dudas que producen las paradojas de Zenón. El primer problema que se presenta después de describir la solución a las paradojas es hacer sentido a la noción de suma.

Se ha dicho que la secuencia del corredor en la pista parte de un medio, luego tres cuartos, luego siete octavos y así hasta alcanzar un entero como límite. Esto es lo que se quiere decir cuando se menciona que el límite de la secuencia es 1. Pero nada se ha dicho de la adición de estas partes de   la pista en el recorrido del corredor. Dado que la noción de suma no está presente en la definición de límite, no se puede decir que el corredor ha ido sumando distancias mientras se acerca a la meta.

Zenón diría que no hay problema en que el límite de una secuencia sea un entero. Aceptaría con gusto que el corredor se está acercando a la meta y que Aquiles se acerca a la tortuga. Aceptaría por lo tanto que, si se considera las secuencias, la idealización de lo que ocurre en el límite de dichas secuencias es que el corredor alcanza el final de la pista y Aquiles alcanza y supera a la tortuga. Pero negaría la posibilidad de que tales tareas pudieran ser llevadas a cabo. Diría que, si bien se acerca al límite, jamás se lograría llegar a éste.

 

El problema descriptivo que tiene la posición del Espacio-Tiempo continuo es que la secuencia

 

1/2, 3/4, 7/8, …, 1

 

no implica la suma

 

1/2 + 1/4 + 1/8 = 1

 

El problema continúa incluso si se aceptase que tal implicación existiese. Aquí es donde las paradojas de Aquiles y la paradoja de la pista vuelven a surgir. Esta vez se presentan formuladas en términos de lograr esa suma actualmente infinita. Y el problema es que no parece posible lograr una suma actualmente infinita porque no es posible llevar a cabo una super-tarea.

Una super-tarea es un conjunto actualmente infinito de subtareas. Si el Espacio-Tiempo fuera continuo, entonces parece ser que se le podría exigir una super-tarea tanto a Aquiles como al corredor en la pista. Ambos deben pasar por una cantidad actualmente infinita de partes de determinado intervalo espacial. Sin embargo, parece ser que una super-tarea no puede ser llevada a cabo como muestra el ejemplo de la lampara prendida y apagada una cantidad actualmente infinita de veces en un intervalo de tiempo finito. Si tal tarea pudiese llevarse a cabo, uno podría preguntar en qué estado termina la lampara. Pero dada la naturaleza del infinito actual, no es posible determinar el resultado pudiendo estar tanto apagada como prendida al final del proceso. Sin embargo, es imposible que pueda estar en alguno de estos estados: siempre podrá haber un estado más antes de llegar al final de la tarea y, por lo tanto, un estado adicional donde la lampara debería prenderse o apagarse una vez más (Thomson, 1954).

¿Cómo afecta este experimento mental a la concepción del Espacio- Tiempo continuo? Este problema indica que una super-tarea no puede ser llevada a cabo. Sin embargo, las tareas de Aquiles y del corredor, en efecto, sí pueden realizarse. Se implica así que sus tareas no son actualmente infinitas. Pero si la suma de una cantidad actualmente infinita de tareas no es lo que sucede en el caso de las paradojas de Zenón, entonces se está desechando la posición del defensor del Espacio-Tiempo continuo. No habría divisibilidad ad infinitum. La continuidad no describiría el mundo, sino que lo haría la descripción discreta (véase Ray 2014 y Strobach 2013, 33-6).

Bibliografía

Bendegem, Jean Paul van. 2011. “The Possibility of Discrete Time”. En: The Oxford Handbook of Philosophy of Time. Ed. por Craig Callender. Oxford University Press.

Huggett, Nick. 2017. “Zeno’s Paradoxes”. En: The Stanford Encyclopedia   of Philosophy. Ed. por Edward N. Zalta. Winter 2017. Metaphysics Reearch Lab, Stanford University.

Ray, Christopher. 2014. Time, Space and Philosophy. Routledge.

Sorabji, Richard. 1983. Time, Creation, and the Continuum: Theories in Antiquity and the early Middle Ages. University of Chicago Press.

Strobach, Niko. 2013. “Zeno’s Paradoxes”. En: A Companion to the Philo- sophy of Time. Ed. por Heather Dyke y Adrian Bardon. Wiley-Blackwell.

Thomson, James. 1954. “Tasks and Super-Tasks”. En: Analysis 15.1: 1-13.

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