Hugo José Francisco Velázquez

La progresiva proliferación de las lógicas deónticas muestra el interés que los conceptos normativos despiertan entre los lógicos, pero también refleja una perplejidad básica: la dificultad de decidir cuál de los sistemas reconstruye mejor los conceptos normativos que se pretende analizar y es, por lo tanto, más útil desde el punto de vista de su aplicación al lenguaje normativo.

   

Carlos Alchourrón y Eugenio Bulygin, Sistemas Normativos

Introducción

Carlos Alchourrón (1931-1996) y Eugenio Bulygin (1931-2021), ambos pertenecientes a la escuela analítica del derecho argentino, fueron dos de los más grandes exponentes de la filosofía del derecho y de la lógica jurídica del siglo XX. Su colaboración, que se extendió por más de 35 años, dejó una huella indeleble en la teoría del derecho contemporánea, especialmente en el desarrollo de la lógica deóntica y el análisis de los sistemas normativos. Ambos autores, formados en la tradición analítica^[1], han insistido en la importancia de efectuar una renovación metodológica que posibilite a los operadores jurídicos (juristas, jueces, abogados, etc.) emplear instrumentos formales aptos y sofisticados en la identificación, clarificación y solución de problemas jurídicos. Así, contribuyeron de manera significativa a la consolidación de un enfoque riguroso y sistemático en el estudio de las normas jurídicas, combinando herramientas lógicas con una profunda reflexión filosófica (Bulygin, 2006; Massini-Correas, 2021).

Carlos Alchourrón, abogado de formación, se destacó por su dominio de la lógica y la filosofía analítica, lo que le permitió introducir un cambio paradigmático en el Instituto de Filosofía del Derecho de la Universidad de Buenos Aires (UBA) durante las décadas de 1950 y 1960. Bajo la dirección de Ambrosio Gioja, impulsó la incorporación de autores de la tradición analítica, desplazando el enfoque fenomenológico y abriendo paso a una nueva era en la filosofía jurídica argentina, donde la lógica adquirió un papel preponderante. No solo se desempeñó como catedrático en Lógica y Filosofía del Derecho en la Universidad de Buenos Aires, sino que también fue profesor visitante en numerosas universidades de Estados Unidos, Europa y América Latina. Alchourrón fue Miembro fundador de la Sociedad Argentina de Análisis Filosófico y de la Asociación Filosófica Argentina y recibió varias distinciones como, por ejemplo, el Diploma al Mérito en Lógica y Teoría de la Ciencia concedido por la Fundación Konex en 1986 y el premio de la Fundación Guggenheim en 1975 (Bulygin, 2006; Vernengo, 1996). Por su parte, Eugenio Bulygin fue un filósofo del derecho de reconocimiento internacional, formado en prestigiosas instituciones como las universidades de Colonia, Bonn y Oxford, donde estudió con H.L.A. Hart. Su producción intelectual, que incluye numerosos libros, artículos y traducciones en teoría del derecho, filosofía analítica y lógica de normas, refleja un compromiso inquebrantable con el rigor lógico y la claridad conceptual. A su vez, podríamos decir que Bulygin, en el campo de la filosofía del derecho, fue un acérrimo defensor del positivismo jurídico argumentando a favor de una separación clara entre el derecho y la moral y sosteniendo que los juicios de valor no tienen cabida en el análisis científico del derecho. Por último, cabe mencionar que fue presidente de la Asociación Mundial de Filosofía Jurídica y Social (IVR) y recibió numerosos premios y distinciones, entre los que destacan el Doctorado Honoris Causa por la Universidad de Alicante y el Premio Alexander von Humboldt (Massini-Correas, 2021).

A pesar de que ambos autores tienen importantes contribuciones individuales tanto a la lógica como a la filosofía del derecho como bien han destacado Palau (1996) y Navarro (2007), su cooperación académica durante más de 35 años ha sido tan notable y fructífera que produjeron obras que revolucionaron la teoría contemporánea del derecho mostrando que la lógica constituye una herramienta metodológica básica e indispensable no solo para el análisis filosófico en general sino, y sobre todo, para el estudio de las normas y de los sistemas normativos en particular. Sus obras conjuntas más destacables son Normative Systems (1971) y Análisis lógico y derecho (1991), las cuales constituyen –sobre todo la primera– obras fundacionales en la lógica deóntica y teoría jurídica, dado que proponen y desarrollan un enfoque teórico innovador para el análisis lógico-conceptual de la estructura y dinámica de los sistemas normativos, sentando las bases para lograr una comprensión más acabada de cómo funcionan los ordenamientos jurídicos. De este modo, integrando herramientas de la moderna lógica formal con una reflexión profunda sobre la naturaleza del derecho, abordaron problemas capitales de la teoría jurídica como la completitud, la coherencia y las lagunas de los sistemas jurídicos, la derogación, revisión y derrotabilidad de las normas y la distinción entre lagunas normativas, axiológicas, de conocimiento y de reconocimiento (Vernengo, 1996; Bulygin, 2006; Massini-Correas, 2021).

En síntesis, la colaboración entre Alchourrón y Bulygin no solo transformó la filosofía del derecho en Argentina, sino que también tuvo un impacto global, sentando las bases para el desarrollo de la lógica jurídica contemporánea. Su legado intelectual, caracterizado por el rigor lógico, la claridad conceptual y la apertura al diálogo interdisciplinario, sigue siendo una referencia indispensable para quienes se dedican al estudio de los sistemas normativos y la teoría del derecho. El presente trabajo propone efectuar un pormenorizado análisis comparativo de los sistemas lógicos desarrollados por Alchourrón y Bulygin a partir de la célebre distinción entre normas y proposiciones normativas, a fin de determinar en qué medida su propuesta constituye un plausible intento de escapar al célebre Dilema de Jørgensen. Siguiendo tal desiderátum, comenzaremos, en primer lugar, por introducir al lector al ámbito de la lógica deóntica indicando, entre otras cosas, qué debe entenderse por lógica deóntica, cómo ésta se fue gestando, cuáles fueron sus antecedentes más relevantes, etc. Seguidamente, se abordará la distinción conceptual entre normas y proposiciones normativas, la cual permitirá analizar dos diferentes lógicas, a saber: la lógica de normas (centrada en el análisis de las relaciones inferenciales entre normas) y la lógica de proposiciones normativas (centrada en el análisis lógico de enunciados sobre la existencia o inexistencia de normas dentro de un sistema normativo). Posteriormente, se examinarán las propiedades formales de dichas lógicas, destacando sus principales analogías y diferencias. Luego, se expondrán y compararán las diferentes reconstrucciones propuestas por Alchourrón y Bulygin para la lógica de proposiciones normativas. Finalmente, teniendo en cuenta todo lo analizado precedentemente, se apuntarán las principales diferencias entre ambas lógicas examinando bajo qué condiciones éstas pueden llegar a ser isomorfas y puntualizando si la lógica de proposiciones normativas puede obrar como una justificada salida al Dilema de Jørgensen sustituyendo a la lógica de normas.

La lógica deóntica en pocas palabras

Dado que las lógicas propuestas por Alchourrón y Bulygin se sitúan dentro del específico campo de la lógica deóntica, resulta menester –antes de adentrarnos en el análisis de su propuesta– esclarecer el concepto (sentido), objeto y alcance de esta lógica peculiar. La razón de ello, estriba en que la noción de lógica deóntica adolece de cierta inexactitud semántica, especialmente en la teoría jurídica. Como bien lo ha expresado Alchourrón (1995), es necesaria una profunda y sistemática reflexión filosófica sobre su concepto y área temática específica debido a los grandes avances y desarrollos experimentados por la lógica deóntica en los últimos 75 años para evitar confusiones, obscuridades y equívocos susceptibles de minar o entorpecer su mentado progreso.

En primer lugar, cabe destacar que algunas corrientes de la teoría del derecho –como la egología, la lógica de lo razonable y la lógica jurídica material–, basándose en una interpretación utilitarista, asocian la expresión “lógica deóntica” con la ciencia de lo útil y sostienen que dicha la expresión no denota adecuadamente el ámbito de lo normativo (Cossio, 1972; Legaz y Lacambra, 1975; Recaséns, 1956). Este enfoque, no obstante, desatiende el origen lingüístico de la expresión, que refiere directamente a la noción de deber y a su relación con la estructura lógica de las normas. En efecto, un simple análisis etimológico permite vislumbrar que tal expresión resulta adecuada para designar el estudio de los razonamientos pertenecientes al ámbito normativo, debido a que dicha expresión se compone, por un lado, de la palabra “lógica” que procede del griego “λογική” (logiké) y significa discurso, razón y palabra, por lo que podríamos decir que la lógica, en general, importa el estudio de los productos del razonar (logos-razón), esto es, los razonamientos; y, por otro lado, se compone de la palabra “deóntica” que proviene de la voz griega “δέον” (déon) que remite semánticamente a la noción de deber, la cual, manifiestamente refiere al terreno de lo normativo (Garrido, 1986; Echave et al., 2008). Sin embargo, dada la generalidad del análisis etimológico resulta necesario complementarlo con los aportes de la concepción moderna de la lógica que, justamente, entiende a la lógica como el estudio de los razonamientos desde un punto de vista formal (logos-cálculo), es decir, haciendo abstracción tanto del contenido empírico como del significado lógico de los símbolos (interpretados), a fin de enfocarse únicamente en sus combinaciones, sustituciones y transformaciones (Blanché, 1963). En tal sentido, podríamos señalar que la lógica deóntica tiene por objeto las inferencias normativas desde un punto de vista formal o, en términos de von Wright (2010), se ocupa de las relaciones formales de implicación o consecuencia lógica, de compatibilidad e incompatibilidad entre expresiones normativas, es decir, enunciados formulados en términos de deber o conceptos que pueden sustituirlo sin pérdida de significado como, por ejemplo, “obligatorio”, “permitido”, “prohibido” o “facultativo” (Ratti, 2018).

En segundo lugar, debo señalar que la lógica deóntica tiene que ser diferenciada de la lógica jurídica, puesto que constituye un lugar común en la teoría del derecho equipararlas. No obstante, pienso que el mantenimiento de tal indistinción favorece la equivocidad entre las mismas generando numerosos malentendidos entre lógicos, juristas y filósofos del derecho, lo cual impide fructíferos encuentros e intercambios entre ambos campos disciplinares (Velázquez, 2018). En tal sentido, podemos afirmar que la lógica deóntica se refiere a las relaciones inferenciales formales entre expresiones normativas que connoten cualquier tipo de normas (jurídicas o no), mientras que la lógica jurídica versa sobre las relaciones inferenciales (deductivas o no) que se realizan con enunciados jurídicos (normativos o no). No obstante, muchas veces los autores tienen una fuerte tendencia a confundirlas, pues, la lógica deóntica y la lógica jurídica no constituyen campos disciplinares absolutamente inconexos, sino que –más bien– existe una importante relación entre ambas. Para comprender cabalmente dicho vínculo, podríamos entenderlo como una relación de intersección entre conjuntos, pues, los ámbitos referenciales de la lógica deóntica y de la lógica jurídica se superponen parcialmente en cuanto a que ambas se interesan por las inferencias o razonamientos jurídico-normativos formales o deductivos. Sin embargo, ambas conservan ámbitos de referencia propios o exclusivos: la lógica deóntica se interesa por todas aquellas inferencias normativas formales no jurídicas, mientras que la lógica jurídica se interesa tanto por las inferencias jurídicas formales o informales no normativas como por aquellas que no siendo deductivas son, a su vez, normativas.

Marcadas estas diferencias, resulta conveniente adentrarnos en la historia de la lógica deóntica. En este sentido, debe decirse que la lógica deóntica apareció propiamente en el año 1951 con la publicación del ya célebre artículo Deontic logic de Georg Henrik von Wright en la revista Mind a partir de una serie de analogías estructurales existentes entre los conceptos deónticos (permitido, prohibido y obligatorio) y, principalmente^[2], los conceptos modales aléticos (posible, imposible y necesario). Si bien 1951 marca el nacimiento de la lógica deóntica, dado que con el artículo de von Wright comienza el estudio sistemático de esta disciplina, ello no significa que no haya habido importantes antecedentes previos. En efecto, la importancia de los antecedentes de la lógica deóntica radica no solo en que permiten ver cómo ha surgido efectivamente esta lógica peculiar, sino también en que posibilitan mostrar que tal surgimiento tuvo lugar como consecuencia de revisar ciertas insuficiencias del aparto formal de la lógica clásica para la representación y sistematización de argumentaciones pertenecientes a otras áreas del discurso como es el caso del discurso normativo. Siguiendo a Kalinowski (1975) y a Follesdahl y Hilpinen (1971), podemos dividir los antecedentes en remotos o lejanos y modernos o contemporáneos. Dentro de los antecedentes remotos cabe mencionar a Aristóteles dado que fue el primero en estudiar las inferencias prácticas que actualmente llamamos “normativas” bajo la nominación de “silogismo práctico”. En segundo lugar, debemos mencionar a Leibniz que bosquejó los lineamientos fundamentales de la teoría de la oposición de los predicados deónticos y de la teoría de las conexiones entre las nociones modales deónticas y las aléticas. Finalmente, huelga incluir, también, a Bentham que además de introducir importantes distinciones conceptuales como aquella que diferencia entre normas imperativas (mandatos y prohibiciones) y normas no imperativas (no mandatos y permisos), estableció que entre las normas tienen lugar relaciones de necesaria inclusión (concomitancia), de necesaria exclusión (incompatibilidad) y de independencia anticipando la existencia de relaciones lógicas de implicación, contradicción e indiferencia entre las normas dictadas por un legislador soberano. Ahora bien, dentro de los antecedentes modernos o contemporáneos –a quienes consideramos los verdaderos precursores de la lógica deóntica– cabe distinguir tres grupos cronológicamente bien diferenciados, a saber: 1. Un primer grupo que comprende las contribuciones de Bolzano, Höfler y Husserl y que se extiende desde la segunda mitad del siglo XIX hasta 1901, fecha en que aparece la primera edición de Investigaciones Lógicas. Los autores de este período únicamente aportan rudimentos muy básicos en relación a la lógica de normas como, por ejemplo, una caracterización de los enunciados normativos (Bolzano), el redescubrimiento de las analogías entre las expresiones deónticas, expresiones modales aléticas y las proposiciones teoréticas del cuadro de Apuleyo (Höfler), simbolización muy primitiva de expresiones deónticas (Höfler) y la postulación de ciertas leyes lógicas elementales (Husserl y Höfler). 2. Un segundo grupo que comprende las contribuciones de Lapie, Mally y Menger, el cual se extendió desde 1901 hasta 1937 con la publicación de Zur Unbegründbarkeit der Forderungssätze (Sobre la Injustificabilidad de los enunciados de exigencia) de W. Dubislav. Los autores de este grupo intentan desarrollar lógicas de la voluntad y de las costumbres entremezclando elementos psicológicos, filosóficos y morales. Por ejemplo, las inferencias de Lapie no son normativas sino teoréticas cuyas conclusiones muestran la posibilidad o no de alcanzar un cierto fin; por su parte, Mally es el primero que emplea el término Deontik para designar su particular lógica, la cual encarna un sistema lógico del correcto querer, en donde lo debido (functor) es equivalente a lo querido por alguien. Por último, Menger aplicó la teoría matemática de conjuntos al estudio de las actitudes que pueden asumir los seres humanos frente a las normas incorporando las nociones de comportamiento opuesto (comisión y abstención) y de los diferentes caracteres normativos (obligatorio, no obligatorio, permitido y no permitido), advirtiendo –además– las analogías existentes entre las proposiciones modales deónticas y aléticas, logrando enunciar algunas leyes de la oposición entre los enunciados normativos. 3. Finalmente, un tercer grupo que comprende los aportes de Dubislav, Jørgensen, Hofstadter, MacKinsey, Ross, Hare y Rand, el cual abarca desde 1937 con la mentada publicación de Dubislav hasta 1951 con la aparición del célebre artículo de von Wright Deontic Logic publicado en la revista Mind. Este grupo, que consideramos como los más directos y auténticos precursores de la lógica deóntica (lógicos deónticos avant la lettre), se caracterizó por efectuar una equiparación sintáctico-semántica entre normas e imperativos, por tanto, comprendieron a la lógica deóntica como una lógica de los imperativos (Bulygin & Mendonca, 2005). Sin embargo, al considerar que los imperativos no son susceptibles de valores de verdad –pues, ya han tomado nota del problema planteado en el Dilema de Jørgensen– entienden que solo puede hablarse de lógica normativa por metonimia o analogía con la lógica proposicional construyendo –de este modo– auténticas inferencias paralelas de tipo descriptivo basadas ya sea en proposiciones de comprobación del objeto (Dubislav y Rand) o de la satisfacción de la exigencia (Hofstadter y McKinsey), o en los factores indicativos de los imperativos (Jørgensen) o pharstic (Hare), o bien, en meta-proposiciones sobre la validez de los imperativos (Ross). Por último, huelga agregar que el criterio clasificatorio propuesto para los antecedentes de la lógica deóntica responde no solo a la distancia cronológica que media entre los diversos autores sino también por grado de formalización y de desarrollo de las herramientas lógicas empleadas en las correspondientes contribuciones.

Dejando de lado los antecedentes, resulta conveniente exponer brevemente el sistema esbozado por von Wright en 1951, hito fundacional de la disciplina que dio origen al estudio sistemático de la lógica deóntica, nos referimos al llamado Sistema Clásico de Lógica Deóntica (SCLD). Este sistema se basa en los comportamientos estructurales análogos que presentan los conceptos deónticos y los conceptos modales aléticos, a pesar de que los primeros remitan al carácter normativos de ciertas categorías de acciones a las que modalizan y los segundos afecten a la verdad de las proposiciones. Así como cabe definir lo imposible (I) y lo necesario (N) a partir de lo posible (M), también es viable definir lo prohibido (Ph) y lo obligatorio (O) a partir de lo permitido (P), en ambos casos con el auxilio de la negación (~). Los siguientes esquemas muestran este comportamiento análogo:

1. I ≡ ~M y N ≡ I~ ≡ ~M~; 2. Ph ≡ ~P y O ≡ Ph~ ≡ ~P~^[3].

Naturalmente, es factible tomar como primitiva cualquiera de estas nociones modales y definir las demás en base a ella (Bulygin, 1995). A partir de estas analogías von Wright (1951) formuló las leyes de interdefinibilidad de operadores deónticos, uno de los cimientos más importantes de todo sistema estándar de lógica deóntica, las cuales, pueden representarse esquemáticamente como sigue (Echave et al. 2008):

1. P ≡ ~Ph ≡ ~O~; 2. ~P ≡ Ph ≡ O~; 3. P~ ≡ ~Ph~ ≡ ~O; 4. ~P~ ≡ Ph~ ≡ O.

Por otra parte, las modalidades deónticas y aléticas también se asemejan en que, así como nada puede ser imposible y necesario a la vez, análogamente nada puede estar prohibido y ser obligatorio simultáneamente (leyes de oposición). Además, cabría señalar que ambas categorías modales siguen los mismos patrones de distribución, pues, los modalizadores deónticos de permisión, prohibición y obligación se distribuyen en relación a la conjunción y a la disyunción de manera análoga a cómo lo hacen los modalizadores aléticos de posibilidad, imposibilidad y necesidad, respectivamente. Así, von Wright enunció las leyes de distribución deóntica:

P(A v B) ↔ (PA v PB), O(A & B) ↔ (OA & OB) y Ph(A v B) ↔ (PhA & PhB);

cuyos análogos modales serían respectivamente:

M(p v q) ↔ (Mp v Mq), N(p & q) ↔ (Np & Nq) y I(p v q) ↔ (Ip & Iq) (Rodríguez, 2021).

A su vez, el SCLD se asienta sobre dos presupuestos fundamentales: 1. Aquello que modalizan los operadores deónticos se interpretan como nombres de actos genéricos (clases de acciones) como matar, robar, pagar alimentos, fumar, etc. 2. Las variables que representan esquemáticamente a los actos genéricos (A, B, C, etc.) poseen valores de ejecutabilidad análogos a los valores de verdad de las proposiciones modalizadas por los operadores aléticos (Alarcón Cabrera, 2003). En suma, el SCLD se asienta sobre una lógica de la acción que es estructuralmente análoga a la lógica proposicional clásica solo que las variables representan clases de actos que poseen valores de ejecución y donde no se acepta la iteración de operadores ni las fórmulas mixtas, por lo que, formulaciones tales como POA y A→OB no se consideran fórmulas bien formadas (fbf).

Las fórmulas bien formadas del SCLD deben seguir los siguientes parámetros (Rodríguez, 2021):

1. Un esquema de acto atómico (A, B, C, etc.) o molecular (~A, A v B, A & B, P→B o A↔B) precedido de un operador deóntico P (permitido) u O (obligatorio) constituye una fórmula deóntica, por ende, una fbf.
2. Una fórmula deóntica precedida por la conectiva monádica de la negación (~) constituye una fbf.
3. También constituye una fbf cualesquiera dos fórmulas deónticas vinculadas por una conectiva diádica (disyunción “v”, conjunción “.”, implicación material “→” o equivalencia material “↔”).

A su vez, el SCLD se funda en tres principios rectores, a saber (von Wright, 1951, 6-12):

1. El principio de distribución deóntica [P(A v B) ↔ (PA v PB)] que plantea que la permisión de la disyunción de dos actos resulta equivalente a la disyunción de la permisión del primero y la permisión del segundo.
2. Principio de permisión (PA v P~A) que establece que un acto se encuentra permitido, o bien, su omisión (negación) se encuentra permitida.
3. Principio de contingencia deóntica: este principio es un corolario de los dos principios anteriores y establece que las tautologías-acto se encuentran permitidas [P(A v ~A)], mientras que las contradicciones-acto no son obligatorias [~O(~A & A)]. En virtud de este principio, von Wright (1951) sostiene que las tautologías-acto no son necesariamente obligatorias y que las contradicciones-acto no se encuentran necesariamente prohibidas. Ahora bien, a partir de estos principios von Wright añade dos reglas sobre la interdefinibilidad (1. OA→PA y 2. PA ↔ ~O~A), cuatro reglas para la distribución de operadores deónticos [1. O(A&B) ↔ OA & OB; 2. P(A v B) ↔ PA v PB; 3. OA v OB→O(A v B); 4. P(A&B)→PA & PB] y seis leyes sobre el compromiso: 1. OA & O(A→B)→OB; 2. PA & O(A→B)→PB; 3. ~PB & O(A→B)→~PA; 4. O(A→B v C) & ~PB & ~PC→~PA; 5. ~[ O(A v B) & ~PA & ~PB]; 6. OA & O(A&B→C) → O(B→C). Esta ultimas se basan en la noción de compromiso, la cual se simboliza O(A→B) y tiene lugar cuando la ejecución de un acto nos compromete (obliga) a ejecutar otro, esto es, cuando la implicación de dos actos es obligatoria (von Wirght, 1951, 13-14; Alarcón Cabrera, 2003, 114-117; Rodríguez, 2021, 85-87).

Resta señalar que, con respecto al SCLD, von Wright asumió que las formulaciones deónticas son susceptibles de ser verdaderas o falsas, lo cual implica que no tuvo en cuenta el problema que entraña el célebre Dilema de Jørgensen, pues, justamente pone en duda la posibilidad misma de la lógica deóntica. Tal dilema, que fue esbozado por Jørgen Jørgensen en su célebre trabajo Imperatives and logic, publicado en la Revista Erkentnnis en 1938, plantea, por un lado, que –de hecho– en el lenguaje natural se dan inferencias entre normas (razonamientos donde tanto en las premisas como en la conclusión aparecen normas) pero, por otro lado, y esto es lo que justamente convierte a la posición en dilemática, plantea que tradicionalmente la lógica se ocupa de enunciados apofánticos, solamente respecto de los cuales puede haber relaciones lógicas inferenciales, pues, son los únicos susceptibles de ser verdaderos o falsos y, por tanto, no puede hablarse de una lógica de normas, pues, éstas carecen de valores de verdad (Alarcón Cabrera, 1999). Este dilema constituye uno de los problemas fundamentales de la lógica deóntica, de hecho, es posible concebir gran parte del desarrollo de la lógica deóntica como una discusión respecto del mismo (Bulygin, 1995).

Por último, a fin de lograr una mayor clarificación conceptual sobre la lógica deóntica, restaría indicar el singular grupo al que ella pertenece dentro del más amplio espectro de la lógica en general. En tal sentido, si tomamos como referencia los Sistemas Estándar de Lógica Deóntica (SDL)^[4] –respecto de los cuales el SCLD constituye un caso paradigmático– podemos afirmar que la lógica deóntica pertenece al grupo de las llamadas lógicas no clásicas, es decir, aquellas que no cumplen con alguno de los supuestos básicos de la lógica clásica, a saber: apofanticidad, asetoricidad, bivalencia y extensionalidad (Deaño, 1980). Esto es así, dado que, en principio, la lógica deóntica no cumple con los supuestos de apofanticidad (las normas no son susceptibles de ser verdaderas) ni de asertoricidad (las oraciones deónticas son expresiones modalizadas). Ahora bien, siguiendo el criterio de divergencia^[5] propuesto por Haack (1977) y siempre que tomemos como referencia los SDL, podemos afirmar que, dentro del espectro de las lógicas no clásicas, la lógica deóntica constituye una lógica extendida o complementaria, puesto que, si bien los SDL toman como base el aparato estándar clásico, buscan suplementarlo empleando un lenguaje (vocabulario y reglas de formación) y una base deductiva (axiomas, reglas de inferencia y teoremas adicionales) más amplia, dada su inadecuación para representar las argumentaciones normativas (Velázquez, 2021, 467-473).

A partir de todas estas consideraciones podemos afirmar que la lógica deóntica constituye la disciplina que estudia las relaciones lógico-inferenciales (de implicación o consecuencia, de compatibilidad e incompatibilidad) entre enunciados que incluyen expresiones deónticas como “obligatorio”, “prohibido” o “permitido” (oraciones normativas) desde un punto de vista formal y cuyos sistemas pertenecen, mayormente, a las lógicas no clásicas extendidas.

Una distinción clave: normas y proposiciones normativas

Los primeros lógicos deónticos, es decir, aquellos autores que diseñaron sistemas de lógica deóntica en los años cincuenta y gran parte de los sesenta como, por ejemplo, Prior, Anderson, Lemmon, Kalinowski e, incluso como vimos, el propio von Wirght asignaron valores veritativos a las formulaciones deónticas (Bulygin, 1995). De hecho, hasta aquí hemos venido hablando indistintamente de expresiones o formulaciones normativas en ocasión de referirnos al objeto de las inferencias normativas que interesan a la lógica deóntica. Sin embargo, hay una cuestión que resulta de fundamental importancia que debe tenerse en cuenta a la hora de abordar la lógica deóntica y es que las expresiones normativas o deónticas son sistemáticamente ambiguas, pues, a veces pueden estar connotando normas y otras veces proposiciones normativas. En efecto, como el mismo von Wright lo reconoció años después, uno de los grandes méritos de Alchourrón y Bulygin fue advertir la importancia de esta distinción para la confección de sistemas de lógica deóntica dado que, en virtud de ella, es posible diferenciar dos tipos de lógicas deónticas, a saber: una lógica de normas (LN) y una lógica de proposiciones normativas (LPN).

Como vimos, atisbos de esta distinción aparecen parcialmente ya en Bentham cuando diferencia entre normas imperativas (imperativos con autoridad) y normas no imperativas (sin autoridad), o bien, con Hedenius al diferenciar enunciados genuinos y espurios (Bulygin, 2018). Más aún, algunos rudimentos de tal distinción pueden rastrearse entre los antecedentes de la lógica deóntica, especialmente dentro de los autores denominados lógicos deónticos avant la lettre que, al tomar nota del Dilema de Jørgensen y, consecuentemente, ofrecer soluciones al mismo, distinguieron entre normas (imperativos) y proposiciones de comprobación relativas a su objeto (Dubislav y Rand), o entre normas y proposiciones de satisfacción de la exigencia de tales normas (Hofstadter y McKinsey), o bien, como Jørgensen que distinguió entre los factores imperativos y factores indicativos de las normas, o, a su modo, Hare entre el phrastic y el neustic de las proposiciones imperativas, también Ross distingió entre los imperativos y las meta-proposiciones sobre su validez (Kalinowski, 1975, 52-68).

En la teoría jurídica contemporánea la distinción entre normas y proposiciones normativas aparece en 1958 con Ross, quien en su obra Sobre el derecho y la justicia distingue entre reglas jurídicas y proposiciones doctrinarias. Las primeras se corresponden con las normas jurídicas contenidas en leyes, precedentes o cualesquiera otras fuentes del derecho y pertenecen a la categoría general de las directivas por lo que su significado lógico no consiste en informar sobre hechos sino dirigir o prescribir conductas. En tal sentido, las reglas jurídicas no son susceptibles de ser verdaderas o falsas y, por tanto, ostentan una naturaleza alógica. En cambio, las proposiciones doctrinarias se corresponden con enunciados descriptivos acerca de las reglas jurídicas, es decir, aunque tengan la apariencia de directivas, su significado lógico consiste en informar acerca de ciertas directivas, en su caso, acerca de las normas jurídicas. Así, al ser genuinas aserciones son susceptibles de ser veritativo-funcionales y, por tanto, a diferencia de las directivas, ostentan una naturaleza lógica (Ross, 1997, 28-31). A juicio de Ross, esta distinción resultaba fundamental para diferenciar claramente entre el derecho mismo y el conocimiento del derecho por parte de la ciencia jurídica (Mendonca, 2008, 32-33).

Luego, en 1960 Kelsen diferenció entre las Rechtsnormen (normas jurídicas o normas de derecho) y las Rechtssätza (reglas jurídicas o reglas de derecho). Las primeras hacen referencia a las normas que dictan los órganos creadores de derecho, destinadas a regular comportamientos conforme a la voluntad de la autoridad emisora, mientras que las segundas aluden a los enunciados o expresiones que los teóricos del derecho emplean para intentar dar cuenta de las normas jurídicas. Mediante esta distinción Kelsen admite que las leyes lógicas pueden aplicarse a las normas jurídicas de manera indirecta en cuanto son aplicables directamente a las reglas jurídicas que describen tales normas. Esto es así, ya que las reglas de derecho pueden ser verdaderas o falsas en tanto que constituyen juicios hipotéticos que describen normas jurídicas (objeto de la ciencia jurídica), mientras que estas últimas son prescripciones que no pretenden describir sino ordenar una conducta determinada y, por tanto, no son ni verdaderas ni falsas (Kelsen, 1997, 45-48). Así, entre normas jurídicas y reglas de derecho hay una diferencia ontológica puesto que, si bien ambas son entidades ideales o significativas, dependen de actos distintos. Mientras que las normas implican un acto volitivo de la autoridad, las reglas de derecho implican un acto cognoscitivo del teórico del derecho al intentar describir las normas (Vernengo, 1987, 313-314; Mendonca, 2008, 28).

En 1961 una distinción similar a las examinadas fue esbozada en la teoría de Herbert L. Hart, quien en su obra El concepto de derecho señaló que respecto a un sistema de reglas de conducta de un grupo social determinado es factible asumir dos actitudes diversas, aunque interconectadas entre sí: un punto de vista interno, o bien, un punto de vista externo en relación a tal sistema de reglas. El punto de vista interno supone actuar en relación al sistema de reglas como un miembro del grupo que acepta y que emplea tales reglas como guías de su comportamiento, mientras que el punto de vista externo importa asumir, frente al mismo sistema de reglas, la actitud de un simple observador, lo cual, a la postre, no implica el compromiso de aceptar dichas reglas (Hart, 2011). En efecto, quien asuma un punto de vista interno formulará enunciados que impliquen el uso de tales reglas para exigir y justificar sus acciones expresando, por ende, directivas encubiertas (enunciados internos). Esto es así, dado que tales enunciados expresan la aceptación y uso del sistema de reglas de conducta pertenecientes al grupo social. Ahora bien, quien asuma un punto de vista externo formulará enunciados que den cuenta del modo en que otros sujetos aceptan y usan las reglas de conducta del sistema en cuestión. En tal sentido, dichos enunciados serán descriptivos, pues, versan sobre la existencia de las reglas sociales (o jurídicas) del grupo y de las conductas o actitudes asumidas por los individuos que aceptan y usan tales reglas (Mendonca, 2008, 30).

Poco tiempo después, las distinciones propuestas por los teóricos del derecho fueron, finalmente, receptadas en 1963 por von Wright en su célebre obra Norm and action, quien formuló un distingo mucho más preciso pensando en una teoría lógica adecuada capaz de adaptarse a las necesidades formales de los sistemas de lógica deóntica. Así, el lógico finés señala que las oraciones o sentencias deónticas exhiben en el lenguaje ordinario –como así también en sus representaciones esquemáticas– una ambigüedad característica, puesto que pueden ser interpretadas tanto descriptiva como prescriptivamente. Cuando son interpretadas descriptivamente las oraciones deónticas son usadas como enunciados normativos que expresan una proposición normativa, es decir, enunciados existenciales acerca de una norma prescriptiva, susceptibles de ser verdaderos o falsos según la norma referida exista (haya sido dictada y esté en vigor). Cuando las oraciones deónticas son interpretadas prescriptivamente son usadas como formulaciones normativas que expresan normas, es decir, prescripciones dictadas por una autoridad normativa con el fin de regular la conducta de los sujetos destinatarios (von Wright, 1979, 145-146). Como cabe observar, aquí ya se ha logrado distinguir claramente entre normas y proposiciones normativas, sin embargo, von Wright emplea para ambas entidades un único simbolismo lógico sujeto a dos interpretaciones: una descriptiva y otra prescriptiva, lo cual constituye un serio error ya que normas y proposiciones normativas ostentan propiedades lógicas diferentes (Bulygin, 2018).

Finalmente, quienes han logrado formular con mayor claridad y mostrar la importancia capital de la distinción entre normas y proposiciones normativas tanto en la teoría del derecho como en la teoría de la lógica del discurso normativo, son Alchourrón y Bulygin (1996). Ellos parten del hecho –señalado anteriormente por von Wright– de que las oraciones normativas o deónticas, es decir, aquellas expresiones que contienen palabras típicamente normativas como “obligatorio”, “permitido”, “prohibido”, “debe”, “puede”, “no puede”, etc., son sistemáticamente ambiguas, ya que, es factible emplearlas para expresar tanto normas como proposiciones normativas. Es decir, una misma oración deóntica como “Aquí no se puede estacionar” puede ser usada para prohibir estacionar en un lugar determinado, en este caso se usa la oración en sentido prescriptivo y, por lo tanto, expresa una norma; o bien, puede ser empleada para informar acerca de la vigencia de una prohibición existente dictada por una cierta autoridad, en tal caso la oración fue usada en sentido descriptivo y, por ende, expresa una proposición normativa. La distinción es relevante, pues, como remarcan los autores, a pesar de que se traten de las mismas expresiones lingüísticas, sus propiedades son rotundamente diferentes. En efecto, las normas no son susceptibles de asumir valores veritativos, aunque sí pueden ser evaluadas en términos de validez jurídica, de justicia o de eficacia; en cambio, con las proposiciones normativas ocurre todo lo contrario, es decir, cabe atribuirles valores veritativos, pero no es posible predicar de ellas que son eficaces, obligatorias, justas o válidas. Asimismo, los autores acertadamente señalan que la verdad o falsedad de una proposición normativa solamente depende del hecho al que se refiera (existencia, validez o eficacia de una norma) y no del proferente de la misma, mientras que para las normas sí serán relevantes las condiciones del sujeto que las emite (autoridad normativa) de cara a su validez y obligatoriedad. Por otra parte, debido a que cualquier predicación que se haga de una norma da origen a una proposición normativa, habrá diferentes tipos de proposiciones normativas. Así, es posible encontrar proposiciones normativas que prediquen validez, obligatoriedad, eficacia, vigencia, aplicabilidad, existencia, etc. No obstante, para Alchourrón y Bulygin revisten especial relevancia aquellas que si bien hacen referencia a conductas o estados de cosas resultantes de conductas en el fondo también aluden a las normas. Tales proposiciones normativas afirman o niegan que tal conducta tiene la propiedad de ser obligatoria, prohibida o permitida, sin embargo, advierten que no se trata de propiedades que las conductas puedan poseer en sí mismas, sino que solo es posible atribuírselas en relación a una norma que las califica como obligatorias, prohibidas o permitidas. Por ende, cabe analizar tales proposiciones normativas como proposiciones acerca de la existencia de las normas, ya que decir, por ejemplo, que la conducta p está permitida (prohibida o es obligatoria) resulta idéntico que aseverar que existe una norma que permite (prohíbe u obliga) p. De este modo, puede decirse que hay dos rasgos característicos de las proposiciones normativas y que justifican diferenciarlas de las normas, a saber: su posibilidad ser verdaderas o falsas y su carácter relativo respecto de un sistema normativo determinado (Alchourrón & Bulygin, 1996, 140-142).

Ahora bien, hay autores como, por ejemplo, Lorenzo Peña (2017) que consideran irrelevante la mentada distinción. En efecto, dicho autor sostiene que la diferenciación entre normas y proposiciones normativas, a pesar del gran esfuerzo interpretativo de Alchourrón y Bulygin (2012), es cuestionable, estéril y, por lo tanto, innecesaria. Cuestionable porque, según Peña (2017), tal distinción presupone que las normas, en tanto que prescripciones del legislador, carecen de valor veritativo, lo cual –advierte– resulta falso porque lo prescriptivo es reductible a lo descriptivo. Así, explica que cuando el legislador sanciona una norma, crea un hecho o situación fáctica a partir de las especificaciones que la misma norma establece sobre las cosas por su mera prolación de acuerdo a ciertos procedimientos convencionales (promulgación). Asimismo, arguye que dicha distinción deviene estéril porque no produce dos lógicas distintas y separadas, pues, entre los sistemas lógicos derivados de tal distinción no hay diferencias sustanciales; sostiene que, en realidad, se trata de una mera duplicación de sistemas de lógica idénticos que se reproducen mutuamente. A su vez, esta reproducción de sistemas idénticos –continúa Peña– complica las cosas innecesariamente, por lo que se puede prescindir de ella aplicando un principio de simplificación metodológica, únicamente, quedándonos con la lógica de normas, al menos en cuanto a los sistemas estándar^[6]. A nuestro juicio, lo señalado por Peña resulta, cuanto menos, falso. En primer lugar, porque parece bastante cuestionable, desde un punto de vista lógico, la reducción de lo prescriptivo a lo descriptivo o viceversa, ya que se estaría operando un salto lógico injustificado del deber ser al ser o viceversa, falacia conocida como Guillotina de Hume (Velázquez, 2021). En segundo lugar, resulta falso porque las lógicas o sistemas lógicos a los que la distinción entre normas y proposiciones normativas da lugar no son idénticos. En efecto, la importancia de la distinción entre normas y proposiciones normativas –o bien entre oraciones normativas interpretadas prescriptivamente y oraciones normativas interpretadas descriptivamente– y, por tanto, entre una lógica de normas y una lógica de proposiciones normativas, radica, como bien lo hace notar Alchourrón (1969), en el hecho de que la misma posibilita: a. Dar cuenta de algunas ambigüedades respecto a los términos deónticos de obligación y permisión empleados tanto en el lenguaje jurídico como en el lenguaje corriente, las cuales, no aparecen en una lógica de normas. b. Dar cuenta de algunas propiedades relevantes de los sistemas normativos como la completitud y la coherencia, propiedades que no pueden representarse correctamente en la lógica de normas. c. Como corolario de la anterior, la lógica de proposiciones normativas, al ser relativa siempre a sistemas normativos concretos, es apropiada para tratar el problema de las lagunas del derecho. d. Una mejor (menos confusa) consideración de la iteración de operadores, la cual resulta problemática en la lógica de normas. En virtud de todas estas observaciones, Alchourrón y Bulygin (1996) advierten que todo lógico deóntico deberá determinar si las expresiones que aparecen en sus sistemas como, por ejemplo, Pp, Php o Op, habrán de interpretarse como expresiones de normas o de proposiciones normativas, pues, su tratamiento lógico resultará distinto según uno u otro caso.

Lógica normativa y lógica de proposiciones normativas

En este apartado examinaremos las diferencias entre la lógica de normas y la lógica de proposiciones normativas, principalmente, tal como aparece en su versión primigenia (Alchourrón, 1969)^[7], sin perjuicio de hacer ciertas alusiones a presentaciones posteriores que luego facilitarán el señalamiento de sus divergencias. El origen de la diferenciación entre estas dos lógicas tuvo lugar luego de la visita de von Wright a Buenos Aires en 1968 y de las significativas discusiones que allí surgieron en torno a la lógica deóntica, especialmente, en torno a su obra Norm and Action. Poco tiempo después de aquel suceso, Alchourrón publicó en 1969 un importante artículo en el que distinguió claramente entre lo que él denomina la lógica deóntica (lógica de normas) y la lógica normativa (lógica de proposiciones normativas), basándose en el hecho de que las expresiones deónticas son sistemáticamente ambiguas, esto es, susceptibles de una interpretación prescriptiva y de una interpretación descriptiva. Cuando las oraciones deónticas son interpretadas prescriptivamente expresan normas, es decir, regulaciones que prescriben que determinados comportamientos (o estados resultantes de tales comportamientos) son obligatorios, prohibidos o permitidos, mientras que cuando tales oraciones son interpretadas descriptivamente expresan proposiciones normativas, esto es, proposiciones que afirman que tales regulaciones existen. Así, expresiones como “obligatorio”, “permitido” o “prohibido”, etc. referirán unas veces a conceptos deónticos (interpretación prescriptiva) y otras a conceptos normativos (interpretación descriptiva), lo cual tiene como corolario la distinción entre diversos tipos de operadores: deónticos y normativos, respectivamente (Bulygin, 2018). Si bien Alchourrón (1969) emplea esta terminología en su artículo, por las razones expuestas en el segundo apartado de nuestro trabajo y con el fin de evitar confusiones terminológicas con la literatura más actual^[8], preferimos reservar la expresión “lógica normativa” para la lógica de normas (LN) y “lógica deóntica” para el área disciplinar que abarca tanto la lógica de normas como de proposiciones normativas (LPN); asimismo, preferimos hablar de conceptos y operadores deónticos prescriptivos y descriptivos, antes que de conceptos y operadores deónticos y normativos.

Teniendo presente la terminología adoptada, la lógica normativa (lógica de normas), es decir, aquella que versa sobre oraciones deónticas interpretadas prescriptivamente es presentada por Alchourrón (1969) a través de un lenguaje (lenguaje O) que tiene las siguientes características:

1. Un vocabulario dado por:

1. 1. Un listado infinito de variables proposicionales (símbolos descriptivos): p, q, r, s, etc.;
   2. Las conectivas proposicionales habituales para la negación “~”, conjunción “&”, disyunción “v”, condicional “→” y bicondicional “↔” (símbolos lógicos);
   3. Los típicos símbolos auxiliares o de puntuación: paréntesis, corchetes y llaves;
   4. El operador deóntico prescriptivo de obligación “O”.

2. Unas reglas de formación dadas por un conjunto de fórmulas bien formadas (fórmulas O) que, a su vez, comprende las fórmulas de contenido (fórmulas C) y las fórmulas deónticas (fórmulas D).

Las reglas de formación señalan que las fórmulas de contenido están formadas por el conjunto de variables, el cual se encuentra clausurado respecto de las conectivas proposicionales. De este modo, cada una de las variables constituyen fórmulas C (fórmulas C atómicas) y si A es una fórmula C, entonces, ~A también lo es. Asimismo, si A y B son fórmulas C, entonces, A&B, AvB, A→B y A↔B también lo son. Con respecto a las fórmulas deónticas las reglas de formación indican que las mismas estarán formadas por el conjunto más restringido que contiene todas las fórmulas de la forma OA (siendo, en este caso, A una fórmula C), el cual se encuentra clausurado respecto de las conectivas proposicionales. De este modo, si A es una fórmula C, OA es una fórmula D (atómica); si A es una fórmula D, ~A es una formula D y si A y B son fórmulas D, entonces, A&B, AvB, A→B y A↔B son fórmulas D. Definido el lenguaje O y con el fin de dar estructurar el sistema lógico correspondiente (Sistema O), Alchourrón introduce, por un lado, el axioma Ax-1: ├ O(A→B)→(OA→OB) donde A y B son fórmulas C; y, por otro lado, las siguientes reglas de inferencia:

R1. Si A es una tautología de la lógica proposicional, entonces, ├ A, donde A es una fórmula O.

R2. Modus ponens: de ├ A y ├ (A→B) se sigue ├ B, donde A y B son ambas fórmulas C o formulas D.

R3. Principio de Contradicción Deóntica: de ├ ~A se sigue
├ ~OA, donde A es una fórmula C.
R4. Principio de Tautología Deóntica: de├ A se sigue ├ OA, donde A es una fórmula C^[9].

Por último, Alchourrón introduce una serie de definiciones referidas a los operadores deónticos prescriptivos donde A es una fórmula C:

D1. Permitido: Df. P: PA = ~O~A;

D2. Prohibido: Df. Ph: PhA = O~A;

D3. Facultativo: Df. F: FA = (PA & P~A).

A partir de estos elementos es posible inferir las siguientes leyes (teoremas):

1. Leyes de distribución deóntica:
   1. T1. Distribución de la obligación: O(p&q) ↔ Op & Oq
   2. T2. Distribución de la permisión: P(pvq) ↔ Pp v Pq
2. Leyes de oposición y de subalternación:
   1. T3. Op→Pp (Debe implica puede)
   2. T4. Php→P~p
   3. T5. Op ↔ ~P~p
   4. T6. ~Op ↔ P~p
   5. T7. Pp ↔ ~O~p
   6. T8. ~Pp ↔ O~p
   7. T9. Pp v P~p (Principio de Permisión).
   8. T10. ~(Php & Pp) (Principio de Consistencia Normativa)
   9. T11. Pp v Php (Principio de Completitud o de Prohibición)
3. Leyes sobre la Exhaustibidad y Exclusividad de los operadores deónticos:
   1. T12. (Php v Op v Fp) (Principio de Tricotomía)
   2. T13. Php→(~Op & ~Fp)
   3. T14. Op→(~Php & ~Fp)
   4. T15. Fp→(~Op & ~Php)

Como cabe observar, el sistema O se presenta como una extensión de (presupone) la lógica proposicional, así las variables representan proposiciones que remiten a estados de cosas y las conectivas lógicas se interpretan del modo habitual. Por su parte, los operadores deónticos prescriptivos pueden leerse como sigue:

1. Operador O: “Debe ser que p” o “p debe ser”;
2. Operador Ph: “Se prohíbe que p” o “Debe ser que ~p” o “p no debe ser (hacerse)”;
3. Operador P: “Puede ser que p” o “p puede ser (hacerse)” o “Se permite que p”;
4. Operador F: “Se facultad que p” (Alchourón, 1972).

A su vez, este sistema toma como base al operador obligatorio (O) concibiéndolo como primitivo, por lo cual podemos decir que es sustancialmente equivalente al sistema esbozado por von Wright en 1951 excepto por el hecho de que en SCLD las variables representan tipos de acciones genéricas y se rechaza expresamente R4 en virtud del mentado Principio de Contingencia Deóntica. Con respecto a los teoremas del Sistema O, cabe señalar que T1 y T2 constituyen las leyes de distribución para los operadores O y P, mientras que T3 y T4 suponen las leyes de subalternación deóntica. Por su parte, los teoremas T5 a T8 constituyen las conocidas leyes de interdefinibilidad de operadores deónticos (Alchourrón, 1969). Asimismo, T9 es concebido como la Ley de Subcontrariedad Deóntica, mientras que T10 y T11 entrañan respectivamente los principios de consistencia y completitud normativa. En virtud de estos dos últimos principios un mismo estado de cosas no podría estar prohibido y permitido simultáneamente (consistencia normativa) y, por tanto, se encontraría prohibido, o bien, permitido (completitud normativa) (Rodríguez, 2003). No obstante, como bien remarca Bulygin (1995), resulta de suma importancia tomar conciencia del verdadero significado de tales principios. Así, cuando el Principio de consistencia normativa establece que una norma permisiva y una prohibitiva se excluyen mutuamente, no significa que –de hecho– una autoridad normativa no pueda dictar estas dos normas o que sea imposible que un sistema normativo contenga tales normas. Únicamente significa que dichas normas son incompatibles dado que el cumplimiento de la prohibición imposibilitaría hacer uso de la permisión, mientras que el uso del permiso tornaría imposible observar la prohibición. De un modo semejante, cuando el Principio de completitud normativa establece que, respecto de un mismo estado de cosas, una norma permisiva y una prohibitiva son conjuntamente exhaustivas, no significa que –de hecho– toda autoridad normativa dicte necesariamente una de tales normas o que todo sistema normativo contenga necesariamente la permisión o la prohibición de dicho estado de cosas. Más bien, significa que toda regulación (calificación deóntica) de un estado de cosas supone necesariamente su permisión o su prohibición. De ahí que constituya un error pretender deducir de tales principios que todo sistema normativo sea, de hecho, consistente (sin antinomias) y completo (sin lagunas), o bien, que sea imposible que cualquier autoridad normativa dicte normas incompatibles o que necesariamente regule toda acción posible (Bulygin, 1995, 136-137). Es por ello que Alchourrón y Bulygin (1989) afirman categóricamente que, si bien la lógica de normas puede proveernos de criterios ideales para la consistencia y completitud, nada nos dicen respecto de la existencia de las normas mismas.

Ahora bien, el sistema O, al asumir una interpretación prescriptiva de las expresiones deónticas, reconstruye adecuadamente las relaciones lógicas entre normas consideradas de manera absoluta, esto es, bajo condiciones normativas ideales de consistencia y completitud (sin ser referidas a una cierta autoridad o sistema normativo particular). De este modo, la lógica de normas (LN) podría brindarnos criterios ideales de racionalidad respecto de la actividad nomothética (actividad de dictar normas), ya que si un legislador pretende ser racional deberá, por ejemplo, respecto de todo posible estado de cosas calificarlo como prohibido o permitido (completud), o bien, no podrá simultáneamente prohibir y permitir un determinado estado de cosas (consistencia). Sin embargo, el Sistema O no reconstruye adecuadamente las relaciones lógicas entre expresiones deónticas interpretadas descriptivamente, esto es, relaciones lógicas que tienen lugar entre proposiciones normativas que califican ciertas acciones o estados de cosas resultantes de ciertas acciones de conformidad con un cierto conjunto de normas efectivas (existentes) dictadas por una autoridad concreta determinada (Rodríguez, 2003). Como bien remarca Bulygin (1995), la lógica de normas nada dice sobre los hechos, en este caso, sobre la existencia de nomas que es, justamente, lo que afirman o niegan las proposiciones normativas.

Desde un punto de vista eminentemente formal, tampoco podría decirse que la lógica de normas reconstruye adecuadamente las relaciones lógicas entre proposiciones normativas, pues, respecto de ellas existen dos tipos de negación (Alchourrón, 1969; Bulygin, 1995). Bajo una interpretación prescriptiva, como la que supone el sistema O (lógica de normas), la negación resulta ser análoga a la de la lógica clásica: la negación de una norma es también una norma (su norma negación), hay reciprocidad entre una norma y su norma negación (si ~Pp es la negación de Op, entonces Op es la negación de ~Pp), una norma y su norma negación se excluyen mutuamente (ambas son incompatibles porque no pueden satisfacerse simultáneamente) y, a su vez, son conjuntamente exhaustivas (toda regulación de un estado de cosas implica necesariamente su prohibición o su permisión). En cambio, bajo una interpretación descriptiva, aquella que asume la lógica de proposiciones normativas, la negación se torna más compleja. En efecto, las proposiciones normativas son enunciados metalingüísticos complejos que afirman que una norma existe, esto es, que una norma ha sido dictada por una autoridad determinada (o que pertenecen, por eso mismo, a un sistema normativo concreto), por lo que su negación es ambigua, pudiendo entenderse de dos maneras diferentes. Así, la proposición que asevera “el estado de cosas p no está prohibido” puede entenderse como la negación de que una cierta autoridad haya dictado una norma prohibitiva respecto del estado de cosas p (o como que un cierto sistema normativo no contiene una norma que prohíbe el estado de cosas p). En este caso, la negación opera sobre el hecho de que una autoridad determinada e identificada ha emitido la norma que prohíbe p (o sobre el hecho de que la norma que prohíbe p pertenece a un cierto sistema), por tanto, lo que se niega es la proposición (normativa) que describe ese hecho (la negación actúa sobre el hecho que describe la proposición). Por otra parte, la expresión “el estado de cosas p no está prohibido” también es susceptible de entenderse como significando que la autoridad normativa ha dictado una norma que no prohíbe el estado de cosas p (o como que un cierto sistema normativo contiene la norma que no prohíbe p), o sea, la norma negación de la norma que prohíbe p (Php), la cual resulta ser una norma que permite p (Pp). En tal caso, la negación operaría sobre la norma (Php) dando lugar a su norma negación (Pp). De este modo, para dar cuenta de tal ambigüedad, resulta necesario diferenciar respecto de las proposiciones normativas dos conceptos de negación, a saber: la negación externa y la negación interna. La primera supone la operación que lleva de la proposición normativa que afirma que una cierta autoridad ha dictado una norma (o que una norma pertenece a un determinado sistema) a la proposición que afirma que tal autoridad no ha dictado dicha norma (o que tal norma no pertenece a dicho sistema). La segunda implica la operación de pasar de la proposición normativa que afirma el dictado de una norma por parte de una cierta autoridad (o la pertenencia de una norma a un cierto sistema) a la proposición que afirma el dictado de su norma negación por parte de tal autoridad normativa (o la pertenencia de su norma negación a tal sistema normativo). Por tal razón, es necesario introducir dos signos diferentes para cada tipo de negación: para la negación externa se emplea el signo convencional de la negación “~”, mientras que para la negación interna se emplea el signo de la negación intuicionista “┐” (Alchourrón, 1969). Siguiendo con nuestro ejemplo las diversas negaciones podrían representarse esquemáticamente como sigue:

1. Negación externa: ~Php = Df. ~NxPhp (~NxO~p o ~Nx~Pp)^[10], formulación que puede leerse como la autoridad normativa x no ha dictado una norma que prohíbe (no permite) el estado de cosas p.
2. Negación interna: ┐Php = Df. Nx~Php (NxPp), formulación que se lee como la autoridad normativa x ha dictado una norma que no prohíbe (permite) el estado de cosas p (la norma negación de Php, o sea, Pp)^[11].

Con todo, cabe tomar nota de que si bien dentro de la lógica de normas (interpretación prescriptiva) la negación de una prohibición (~Php) resulta equivalente a la permisión de dicho estado de cosas (Pp), dentro del ámbito de la lógica de proposiciones normativas (interpretación descriptiva) por efecto de los dos tipos de negación señalados, la permisión se torna ambigua. Así, un estado de cosas puede ser calificado como permitido meramente en virtud de que la autoridad normativa no lo haya prohibido, pero también cabe calificarlo como permitido en el caso de que tal autoridad haya dictado una norma (permisiva) explícita autorizando que se produzca dicho estado de cosas. Estos dos conceptos diferentes de permisión, que Alchourrón y Bulygin primeramente^[12] denominan permisión débil (Pwp) y permisión fuerte (Psp), no pueden distinguirse en la lógica de normas. Sin embargo, respecto de una lógica de proposiciones normativas, pueden ser definidas del siguiente modo:

1. Permisión débil: Pwp = Df. ~NxO~p (o, lo que es lo mismo, ~NxPhp).
2. Permisión fuerte: Psp = Df. NxPp (o, lo que es lo mismo, Nx~Php).

Partiendo de estas definiciones, cabe observar que la permisión débil resulta equivalente a la negación externa de la prohibición del estado de cosas p, mientras que la permisión fuerte es equivalente a la negación interna de la prohibición de p. Asimismo, la permisión débil es igual a la no obligatoriedad de la abstención de realizar el estado de cosas p (~NxO~p), por lo cual habrá de que decir que un estado de cosas p está permitido débilmente si, y solo si, tal estado de cosas no ha sido prohibido por la autoridad normativa, esto es, si la autoridad no ha dictado una norma que prohíba p. En cambio, la permisión fuerte depende de que la autoridad normativa haya llevado a cabo un acto de normación explícito (acto de dictar una norma) y no de una mera omisión, por tanto, un estado de cosas se encuentra fuertemente permitido si, y solo si, la autoridad ha dictado una norma que permite tal estado de cosas. De este modo, Alchourrón y Bulygin han distinguido en total tres nociones de permisión, a saber: una noción prescriptiva de permisión que resulta equivalente a la no prohibición (concepto usado en la lógica de normas) y dos nociones descriptivas de permisión, la permisión débil y la fuerte. Naturalmente, resulta factible distinguir, respecto de los otros operadores descriptivos también un sentido débil y un sentido fuerte:

1. Obligación débil: Owp = Df. ~NxP~p.
2. Obligación fuerte: Osp = Df. NxOp (o Nx~P~p).
3. Facultativo débil: Fwp = Df. (~Nx~P~p & ~Nx~Pp) o, en términos de obligación (~NxOp & ~NxO~p).
4. Facultativo fuerte: Df. (NxPp & NxP~p)^[13].

Ahora bien, a partir de los dos tipos de negación (externa e interna) presente en las proposiciones normativas, es posible distinguir también cuatro pares de conceptos con sus respectivas equivalencias:

1. Osp = ~Pw~p = ┐Ps~p
2. Owp = ~Ps~p = ┐Pw~p
3. Phsp = ~Pwp = ┐Psp
4. Phwp = ~Psp = ┐Pwp
5. Psp = ~Ow~p (~Phwp) = ┐Os~p (┐Phsp)
6. Pwp = ~Os~p (~Phsp) = ┐Ow~p (┐Phwp)
7. Fsp = (~Owp & ~Ow~p) = (┐Osp & ┐Os~p)
8. Fwp = (~Osp & ~Os~p) = (┐Owp & ┐Ow~p)

Según Alchourrón (1969), la regla para entender cómo afecta la negación externa a las proposiciones normativas consiste en que cada operador descriptivo fuerte resulta equivalente a un operador descriptivo débil opuesto con la negación usual delante y detrás de él, mientras que cada operador descriptivo débil resulta equivalente a uno fuerte opuesto con la negación usual delante y detrás de él. Con respecto a la negación interna la regla consiste en que todo operador descriptivo fuerte resulta equivalente al otro operador opuesto fuerte con la negación interna delante y la negación usual detrás de él, mientras que todo operador descriptivo débil resulta equivalente al otro operador opuesto débil con la negación interna delante y la negación usual detrás de él. Se entiende por “opuesto” a la obligación/prohibición respecto de la permisión/facultación y viceversa. Con todo, dado que Alchourrón y Bulygin (2012) advierten que los conceptos débiles de obligación, prohibición y facultamiento no ostentan un correlato semántico en el lenguaje ordinario deciden descartarlos y efectuar una presentación del sistema de lógica de proposiciones normativas empleando solamente los dos operadores descriptivos de permisión. De este modo, el sistema de lógica de proposiciones normativas podría estructurarse a partir de las siguientes definiciones para los operadores descriptivos:

1. De obligación: Op = Df. NxOp = Nx~P~p.
2. De permisión fuerte: Psp = Df. NxPp.
3. De permisión débil: Pwp = Df. ~Nx~Pp = ~NxO~p.

Siendo esto así, el panorama para los dos tipos de negación de las proposiciones normativas quedaría del siguiente modo:

1. Negación externa:
   1. ~Psp = Df. ~NxPp = Df. ~Nx~Php = Df. ~Nx~O~p
   2. ~Pwp = Df. Nx~Pp = Df. NxPhp = Df. NxO~p
   3. ~Op = Df. ~NxOp = Df. ~NxPh~p = Df. ~Nx~P~p
   4. ~Php = Df. ~NxPhp = Df. ~Nx~Pp = Df. ~NxO~p
2. Negación interna:
   1. ┐Psp = Df. Nx~Pp = Df. NxPhp = Df. NxO~p
   2. ┐Pwp = Df. ~NxPp = Df. ~Nx~Php = Df. ~Nx~O~p
   3. ┐Op = Df. Nx~Op = Df. NxP~p = Df. Nx~Ph~p
   4. ┐Php = Df. Nx~Php = Df. NxPp = Df. Nx~O~p

De tales definiciones cabe observar que la negación externa de la permisión fuerte resulta equivalente a la negación interna de la permisión débil y, análogamente, la negación externa de la permisión débil resulta equivalente a la negación interna de la permisión fuerte. A su vez, la negación externa de la prohibición resulta equivalente a la definición de permisión débil, mientras que su negación interna equivale a la definición de la permisión fuerte. Por ende, no habría cuatro formas de negación para la proposición normativa que expresa que la autoridad normativa ha dictado una norma que permite el estado de cosas p, sino únicamente dos. Asimismo, habrá dos formas de negación de la proposición normativa que diga que la autoridad ha dictado una norma que declara que el estado de cosas p es obligatorio: la negación externa expresa que la autoridad no ha dictado una norma que ordena p, mientras que la negación interna expresa que la autoridad ha dictado una norma que permite omitir p, es decir, la norma negación de Op. Recuérdese que la negación externa niega el dictado de la norma por parte de una autoridad normativa determinada (o su pertenencia a un sistema normativo), mientras que la negación interna niega la norma misma, afirmando que su norma negación ha sido dictada por la autoridad normativa (o pertenece a un sistema normativo).

Ahora bien, sobre la base del Sistema O, Alchourrón (1969) construye el sistema de proposiciones normativas: el Sistema NO. Este sistema presupone la lógica de normas y su lenguaje (lenguaje O), por lo que –bajo esta presentación– la LPN será una extensión de la lógica de normas (LN), del mismo modo que la LN es una extensión de la lógica proposicional (LP). En tal sentido, podemos decir que Alchourrón buscó reconstruir la interpretación prescriptiva (Sistema O) conjuntamente con la interpretación descriptiva (Sistema NO) en un cálculo mixto desarrollado en un mismo nivel linguístico (Alchourrón, 1972, 102). Ahora bien, en el Sistema NO las proposiciones más elementales serán aquellas que dicen que una norma ha sido dictada por una autoridad y se representan bajo la forma NxOp que, como dijimos ut supra, significa que la autoridad x ha dictado la norma que establece que el estado de cosas p sea obligatorio. El lenguaje (lenguaje NO) del sistema NO se estructura a través de:

1. Un vocabulario determinado por: a. Todos los signos del Sistema O (lógica de normas); b. El operador normativo descriptivo “Nx” que significa que una autoridad determinada e identificada “x” ha dictado una norma.
2. Unas reglas de formación conformadas por un conjunto de fórmulas bien formadas (fórmulas NO) que comprende, por un lado, las fórmulas del Sistema O, esto es, las fórmulas de contenido (fórmulas C) y las fórmulas deónticas (fórmulas D) y, por otro lado, las fórmulas normativas (fórmulas N).

Estas reglas de formación señalan que si se coloca un operador Nx frente a una fórmula D (A), se obtiene una fórmula N atómica (NxA). A su vez, el conjunto de las fórmulas N se encuentra clausurado en relación a las conectivas proposicionales, por lo que, siendo A una fórmula N, ~A también lo será y si A y B son fórmulas N, entonces, A&B, AvB, A→B y A↔B también lo serán. Una vez definido el lenguaje NO y con la finalidad de estructurar un sistema lógico extendido (Sistema NO), Alchourrón (1969) agrega junto con el Axioma Ax-1 y las reglas de inferencia R1-R4 del Sistema O, el axioma Ax-N2 ├ Nx (A→B)→(NxA→NxB) y la regla de inferencia RN-5 que establece que de ├ (A→B) se sigue (NxA→NxB) donde A y B son fórmulas D. También se introducen las definiciones para los operadores de obligación (Op = Df. NxOp), permisión fuerte (Psp = Df. NxPp) y permisión débil (Pwp = Df. ~NxO~p). A partir de estos elementos (incluidos los tipos de negación) y dejando de lado los conceptos débiles de obligación, prohibición y facultamiento, son leyes (teoremas) del Sistema NO:

1. Leyes de distribución:
   1. TN1. O (p&q) ↔ (Op & Oq)
   2. TN2. Pw (pvq) ↔ (Pwp v Pwq)
   3. TN3. (Psp v Psq)→ Ps (pvq)
2. Leyes de oposición y subalternación:
   1. TN4. Pwp ↔ ~O~p
   2. TN5. Op ↔ ~Pw~p
   3. TN6. ~Pwp ↔ O~p
   4. TN7. ~Op ↔ Pw~p
   5. TN8. ┐ Psp ↔ O~p
   6. TN9. ┐ Op ↔ Ps~p
   7. TN10. Psp ↔ ┐O~p
   8. TN11. Op ↔ ┐Ps~p
   9. TN12. ~ ┐Psp (┐~Psp) ↔ Pwp
   10. TN13. ~ ┐Pwp (┐~Pwp) ↔ Psp
   11. TN14. Php ↔ ┐Psp
   12. TN15. Php ↔ O~p
   13. TN16. Op→Psp
   14. TN17. Php→Ps~p
   15. TN18. ~(Php & Pwp)

Consideraciones acerca de las analogías y diferencias entre los sistemas

Como cabe observar, respecto del Sistema NO, TN1-TN3 constituyen las leyes de distribución para los operadores descriptivos O, Pw y Ps, sin embargo, debe decirse que, si bien las leyes de distribución en la lógica de proposiciones normativas son análogas las de la lógica de normas, existe la salvedad de que la distribución solo se cumple plenamente para obligación (fuerte) y para la permisión débil mientras que para la permisión fuerte solo vale (Psp v Psq)→Ps (pvq) pero no la conversa. En segundo lugar, puede afirmarse que tanto TN4 (Pwp ↔ ~O~p) como TN5 (Op ↔ ~Pw~p) importan, respectivamente, leyes análogas a las leyes de interdefinibilidad de los operadores prescriptivos de permisión (Pp ↔ ~O~p) y obligación (Op ↔ ~P~p), con la aclaración de que tal interdefinibilidad solo tiene lugar entre la permisión débil y la obligación (fuerte), excluyéndose la misma en relación a la permisión fuerte (Op ↔ ~Ps~p no es válida en la LPN). Asimismo, cabe advertir las analogías existentes entre TN6 (~Pwp ↔ O~p) y TN7 (~Op ↔ Pw~p) con respecto a los operadores prescriptivos de permisión (~Pp ↔ O~p) y obligación (~Op ↔ P~p) pertenecientes a la lógica de normas. Por otra parte, debe tenerse presente que los teoremas TN6 a TN14 expresan las propiedades lógicas de los dos tipos de negación que tienen lugar en la lógica de proposiciones normativas. A su vez, también podría señalarse que TN14 (Php ↔ ┐Psp) y TN15 (Php ↔ O~p) suponen leyes de interdefinibilidad de la prohibición (fuerte) con respecto a la permisión fuerte y la obligación (fuerte), las cuales, son respectivamente análogas a las leyes de interdefinibilidad de la lógica de normas: Php ↔ ~Pp y Php ↔ O~p. Por último, puede verse que TN16 (Op→Psp) y TN17 (Php→Ps~p) constituyen leyes de subalternación análogas a las de la lógica de normas (Op→Pp y Php→P~p) con la advertencia de que se dan únicamente entre operadores fuertes, por lo que la expresión “Op→Pwp” no es una fórmula válida en la LPN. Asimismo, respecto de la subalternación debemos indicar que resulta válido el teorema TN18 ~(Php & Pwp), ya que si una autoridad dicta una norma que prohíbe el estado de cosas p (Php = Df. NxO~p), entonces, se excluye la posibilidad de una permisión en sentido débil porque, justamente, la permisión débil supone la ausencia de un acto normativo prohibitivo explícito respecto de ese mismo estado de cosas (Pwp = Df. ~NxO~p). No obstante, en la lógica de proposiciones normativas (LPN) no hay un análogo al Principio de Consistencia Normativa [~(Php & Pp)] de la lógica de normas (LN) en relación a la permisión fuerte; esto se manifiesta en que, si bien en la LPN la obligación (fuerte) implica la permisión fuerte (Op→Psp), la prohibición (fuerte) sí resulta compatible con la permisión fuerte, lo cual no sucede en la LN. Ello es así, puesto que la expresión “Psp ↔ ~O~p” no constituye un teorema en la LPN (Sistema NO), lo cual muestra que es posible que una autoridad normativa haya dictado una norma que prohíbe el estado de cosas p y también una norma que permita tal estado de cosas. Es decir, la expresión “~(Php & Psp)” no constituye una fórmula válida para la LPN porque cabría la posibilidad de que una autoridad determinada emita normas incompatibles respecto de un mismo estado de cosas, en este caso una prohibición y una permisión. Tampoco será válida para LPN la expresión “~(Op&Php)” que vendría a ser una formulación análoga al teorema “~(Op & Php)” de lógica de normas. Esto se debe, fundamentalmente, a que no constituye un teorema de LPN la expresión “Op→~O~p”, lo cual muestra la posibilidad de que una autoridad normativa dicte una norma que califique como obligatorio un determinado estado de cosas y, a su vez, emita una norma que lo declare prohibido (Alchourrón, 1972, 103-104)^[14]. Como bien señala Alchourrón (1969) cuando una autoridad ha normado el estado de cosas p como obligatorio y como prohibido, ha normado incoherentemente tal estado de cosas, situación que, si bien considera deónticamente absurda, resulta harto factible. Ahora bien, para dar cuenta de ello, el profesor argentino (Alchourrón, 1969; 1972) introduce la definición de incoherencia normativa [Df. IN: IN (p) = (Php&Psp)], la cual posibilita inferir, por un lado, que su negación equivale a la disyunción de la permisión débil y de la negación interna de la permisión débil [TN19. ~IN ↔ (Pwp v ┐Pwp)] y, por otro, que la conjunción de la obligación (fuerte) y la prohibición (fuerte) implican la normación incoherente [Op&Php→IN(p)].

Con respecto al Principio de permisión de la lógica de normas, es decir, aquella ley que establece que cualquiera sea el estado de cosas, el mismo se encuentra permitido, o bien, permitida su omisión (Pp v P~p), cabe señalar que en la lógica de proposiciones normativas tampoco hay un teorema análogo en relación a la permisión fuerte, por lo que la fórmula “Psp v Ps~p” no constituye un teorema de la LPN. No obstante, Alchourrón (1969) emplea tal representación esquemática para dar cuenta de la situación de normación (N), esto es, la situación en la que una autoridad normativa x ha dictado una norma acerca del estado de cosas p, e introduce su definición: Df. N: N (p) = (Psp v Ps~p). De este modo, siempre que una autoridad normativa emita una norma que obligue (Op), prohíba (Php) o permita (Psp) un estado de cosas o su negación (Ps~p), nos encontraremos frente a una situación de normación y, por ende, “N (p)” será verdadera. Así, Op→N(p), Php→N(p), Psp→N(p) y Ps~p→N(p) son teoremas de la LPN. Ahora bien, respecto de la permisión débil sí es posible hallar un análogo al mentado principio de permisión bajo la condición de normación coherente, es decir, bajo la negación de la normación incoherente (~IN). Tal principio análogo podría representarse esquemáticamente como sigue: ~IN (p)→(Pwp v Pw~p). A partir de estas consideraciones, Alchourrón infiere que la normación incoherente implica siempre una situación de normación, pero su negación no implica necesariamente una situación de normación, lo cual puede representarse simbólicamente como IN (p)→N(p). Luego, introduce la definición de normación consistente entendida como la conjunción entre la situación de normación y la negación de la normación incoherente: Df. CN: CN (p) = [N(p) & ~IN(p)] o, lo que es lo mismo, CN (p) ↔ [(Psp v Ps~p) & (Pwp v ┐Pwp)]. Finalmente, concluye que la normación coherente implica normación y que, bajo la condición de normación, normación coherente e incoherente son incompatibles y exhaustivas (Alchourrón, 1969, 82-83).

Con respecto al Principio de Completitud^[15] de la lógica de normas, es decir, aquel principio que establece que, para cualquier estado de cosas, tal estado de cosas se encuentra, o bien prohibido, o bien permitido (Php v Pp), es posible encontrar un análogo en la LPN en relación a la permisión débil, ya que en la LPN la noción de permisión en sentido débil resulta incompatible con la prohibición (fuerte), ambos son conceptos lógicamente exhaustivos. De modo que “Php v Pwp” constituye un teorema análogo de la LPN. Sin embargo, no ocurre lo mismo con respecto a la permisión fuerte (Psp), dado que ésta y la prohibición (fuerte) no resultan incompatibles, pues, ambas no son nociones lógicamente exhaustivas y, por tanto, “Php v Psp” no constituye un teorema de la LPN. Según Alchourrón (1969), esto se explica intuitivamente porque resulta factible concebir que, respecto de un estado de cosas determinado, una cierta autoridad normativa no haya dictado ninguna norma prohibitiva ni permisiva; en otros términos, resulta posible concebir que una autoridad normativa no haya determinado ningún carácter normativo para un estado de cosas p, aunque podría haberlo hecho para su negación (~p). Para dar cuenta de ello, Alchourrón introduce la definición de determinación normativa: Df. DN: DN (p) = (Psp v ┐Psp), cuya consecuencia inmediata está dada por el hecho de que cuando una autoridad ha normado de algún modo el estado de cosas p, entonces, tal estado de cosas se encuentra normativamente determinado, lo cual cabe observar en los siguientes teoremas: Php→DN(p), Op→DN(p) y Psp→DN(p). La importancia de la idea de determinación normativa radica, según Alchourrón, en que permite caracterizar el concepto de completitud para sistemas normativos, es decir, permite indicar las condiciones de un sistema sin lagunas, pues, si suponemos que una autoridad ha dictado una serie de normas, diremos que el conjunto de normas dictadas por tal autoridad resulta completo, cuando tal autoridad ha determinado normativamente todo estado de cosas posible; de ahí surge la siguiente definición de completitud normativa absoluta: Df. ClN: ClN = (p) DN (p), cuyas consecuencias están dadas por estos teoremas: ClN ↔ (p) (Psp v ┐Psp) y ClN ↔ (p) (Psp v Php). No obstante, Alchourrón (1969) señala que esta idea de completitud (absoluta) resulta demasiado exigente, por lo que la determinación normativa no debería recaer sobre todo estado de cosas posible sino, más bien, tan solo respecto de todas las proposiciones de un cierto conjunto (relativa), de ahí que introduzca la definición de completitud normativa relativa: Df. ClΦN: ClΦN = (p) [Φ (p)→DN(p)], donde Φ designa el conjunto de proposiciones seleccionado.

Ahora bien, aplicando la definición de la disyunción en virtud del condicional [(pvq) ↔ (~p→q)] al Principio de Completitud (Php v Pp) es posible obtener el denominado Principio de Prohibición (~Php→ Pp), el cual establece que todo lo que no está prohibido se encuentra permitido. En la LPN este principio puede ser interpretado de dos formas diversas debido a los dos sentidos que asume la permisión en ella. Si la expresión “permitido” presente en el Principio de Prohibición se interpreta en sentido débil, tal principio tendrá la siguiente forma: “~Php→Pwp”, la cual resulta formalmente equivalente a “Php v Pwp” que resulta ser la expresión análoga del Principio de Completitud válida para la LPN. De este modo, el Principio de Prohibición interpretado según la noción de permisión débil (~Php→Pwp) constituye un teorema válido para la LPN, esto es, un principio necesariamente verdadero cuyo carácter tautológico puede apreciarse al apelar a su forma lógica subyacente: “~NxPhp→~NxPhp”. Tal forma lógica se explica porque, por un lado, la negación externa de una proposición normativa que califica un estado de cosas como prohibido equivale, por definición, a la proposición que indica que la autoridad normativa no ha dictado una norma que prohíbe tal estado de cosas (~Php ↔ ~NxPhp o, lo que es lo mismo, ~Php ↔ ~NxO~p) y porque, por otro lado, la permisión débil equivale a la proposición que da cuenta del hecho de que una autoridad normativa no ha dictado una norma prohibitiva (Pwp = Df. ~NxO~p). No obstante, que el Principio de Prohibición constituya un teorema en la LPN, ello no supone –como bien lo han destacado Alchourrón y Bulygin (2012)– que todo sistema normativo sea completo careciendo totalmente de lagunas por razones lógicas. En efecto, que tal principio sea tautológico –pues, bajo su interpretación débil solo dice que todo lo no prohibido se encuentra no prohibido– no excluye la posibilidad de lagunas, ya que no supone ninguna calificación normativa ni ningún acto normativo. Ahora bien, si el Principio de Prohibición es interpretado bajo la noción de permisión fuerte, siendo “~Php→Psp” su representación simbólica, entonces, resulta equivalente a “Php v Psp”, la cual no constituye una fórmula lógicamente verdadera para la LPN. En este sentido, se trata de un enunciado meramente contingente que tampoco garantiza que todo sistema normativo sea necesariamente completo por razones lógicas (Alchourrón & Bulygin, 2012).

Por otra parte, debe señalarse que “Php v Op v Fp”, expresión análoga al Principio de Tricotomía (Php v Op v Fp) de la lógica de normas, no constituye un teorema válido en la LPN (Alchourrón, 1969). Más bien, se trata de un enunciado contingente que en caso de ser verdadero tiene como consecuencia la determinación normativa tanto del estado de cosas al que refiere (p) como a su negación (~p), lo cual se refleja en el siguiente teorema: “[(Psp v ┐Psp) & (Ps~p v ┐Ps~p)] ↔ (Php v Op v Fp)” o, lo que es lo mismo, “[DN (p) & DN (~p)] ↔ (Php v Op v Fp)”. Asimismo, empleando la cuantificación proposicional es posible definir la noción de completitud normativa, dando como resultado el siguiente teorema: (p) (Psp v ┐Psp) ↔ (Php v Op v Fp).

En suma, hasta aquí la lógica de proposiciones normativas examinada es presentada por Alchourrón (1969) como un cálculo complementario (Sistema NO) respecto de la lógica de normas (Sistema O) a través de un lenguaje extendido (lenguaje NO) y la introducción de operadores descriptivos (Ps, Pw, O, Ph) que, sin embargo, pertenecen al mismo nivel lingüístico (lenguaje objeto) que el lenguaje de las normas (lenguaje O). Esto es así, puesto que los operadores descriptivos mentados se originan a partir de la introducción del operador normativo N –que permite dar cuenta de la relación normativa entre una autoridad y la norma por ella dictada– y los diversos tipos de negación (externa e interna)^[16]. En este sentido, la LPN constituye una extensión de la lógica de normas (LN), dado que la presupone de manera similar a cómo la lógica de normas presupone la lógica proposicional y, por ello, todos los teoremas y reglas derivadas del Sistema O se perseveran válidos en el Sistema NO (Alchourrón, 1969). Así, Alchourrón ha optado por reconstruir tanto la interpretación prescriptiva correspondiente a la lógica de normas como la interpretación descriptiva correspondiente a la lógica de proposiciones normativas mediante un cálculo mixto que se desarrolla en un mismo nivel lingüístico.

Lógica de proposiciones normativas como lógica de los sistemas normativos

Habiendo analizado las analogías y diferencias entre el Sistema O y el Sistema NO, es decir, entre la lógica de normas (LN) y la lógica de proposiciones normativas (LPN), resulta necesario aclarar que el Sistema NO no es la única manera de presentar la LPN. En efecto, la LPN no solo puede ser reconstruida como una lógica de proposiciones que afirman que una cierta autoridad ha dictado o no una norma (Sistema NO), sino que puede ser reconstruida como una lógica de proposiciones que afirmen que ciertas normas pertenecen o no a determinado sistema normativo (Sistema FO). Este segundo camino es el que han tomado Alchourrón y Bulygin a partir de 1971 con la publicación de Normative Systems. A partir de allí, la LPN ya no será presentada bajo un cálculo mixto –que contenga tanto la interpretación prescriptiva como descriptiva de las expresiones deónticas– desarrollado a través de un lenguaje extendido que se encuentra en el mismo nivel lingüístico que el lenguaje de la lógica de normas (lenguaje objeto), sino que la interpretación descriptiva correspondiente a la LPN pasa a ser reconstruida en el metalenguaje del lenguaje interpretado prescriptivamente (lenguaje objeto de las normas). De este modo, la nueva reconstrucción de la LPN presenta dos características fundamentales: 1. Es desarrollada en un metalenguaje descriptivo (correspondiente a la interpretación descriptiva de las expresiones deónticas) que tiene como lenguaje objeto el lenguaje de la lógica de normas (correspondiente a la interpretación prescriptiva de las expresiones deónticas). 2. Es reconstruida no como una lógica cuyas proposiciones elementales representan actos normativos emitidos por una autoridad determinada que califican deónticamente ciertos estados de cosas (NxOp), sino como una lógica cuyas proposiciones elementales representan el hecho de que ciertas normas pertenecen o no pertenecen a un determinado sistema normativo, esto es, directamente como una lógica de los sistemas normativos.

Esta segunda presentación de la LPN se estructura, como se anticipó, en dos niveles lingüísticos: un primer nivel correspondiente al lenguaje objeto que es, en este caso, el lenguaje de las normas (lenguaje normativo); y un segundo nivel correspondiente al metalenguaje descriptivo que es el lenguaje donde se expresan simbólicamente las proposiciones normativas, en tanto que proposiciones que significan que ciertas normas pertenecen o no a un sistema normativo determinado (α). Para dar cuenta del primer nivel Alchourrón y Bulygin construyen el lenguaje FO como una extensión del lenguaje del Sistema O (lenguaje O) correspondiente a la lógica de normas vista en el apartado anterior. De este modo, el lenguaje FO (lenguaje normativo) se encuentra conformado por el vocabulario correspondiente al Sistema O (variables, conectivas proposicionales usuales, signos auxiliares y operadores deónticos) y por un conjunto diferente de variables, las variables F. En cuanto a su sintaxis (reglas de formación), las fbf del Sistema FO se identifican a partir del conjunto M, el cual, está constituido por la unión de dos subconjuntos:

1. El conjunto más pequeño compuesto por el conjunto de variables F (Clos) y el conjunto de las fórmulas deónticas (fórmulas D), los cuales están clausurados respecto de las conectivas proposicionales;
2. El conjunto de las fórmulas de contenido (fórmulas C)^[17].

Por último, para dar cuenta de la base deductiva, se incluye el conjunto L de las leyes lógicas, el cual se halla conformado por el conjunto más pequeño de M que contiene todas las tautologías de la lógica proposicional y las leyes lógicas correspondientes al lenguaje O y que se encuentra clausurado bajo la regla de modus ponens. Ahora bien, para dar cuenta del segundo nivel, esto es, del nivel metalingüístico sintáctico del lenguaje FO, los autores definen, siguiendo el estilo de Tarski, el conjunto de las consecuencias de un conjunto α de enunciados [Cn (α)] como el subconjunto más pequeño de M que contiene la unión de α y L y que se halla clausurado bajo la regla del modus ponens. A su vez, distinguen entre el conjunto de Casos (Ca) y el conjunto de contenidos normativos (Con). El primero (Ca) está dado por la diferencia entre el conjunto de las variables F y el conjunto de las leyes lógicas, esto es, Clos menos L. El segundo (Con) está conformado por el conjunto resultante de la diferencia entre el conjunto de las fórmulas de contenido y el conjunto de las leyes lógicas, esto es, el conjunto de las fórmulas C menos L^[18]. Asimismo, los autores argentinos emplearán las variables “x” e “y” para representar respectivamente elementos arbitrarios de los conjuntos Ca y Con, y tanto las conectivas proposicionales usuales como los operadores del lenguaje objeto serán empleados de manera autorreferente en el nivel metalingüístico. A partir de estos elementos proceden a definir los operadores deónticos descriptivos en el plano metalingüístico distinguiendo entre operadores categóricos y condicionales (Alchourrón, 1972, 106):

Operadores categóricos	Operadores condicionales
D1a. Oα (y) ↔ Oy ∈ Cn(α) D2a. Psα (y) ↔ Py ∈ Cn(α) D3a. Pwα (y) ↔ O~y ∉ Cn(α)	D1b. Oα (y/x) ↔ (x→Oy) ∈ Cn(α) D2b. Psα (y/x) ↔ (x→Py) ∈ Cn(α) D3b. Pwα (y/x) ↔ (x→O~y) ∉ Cn(α)[19]

Con estas definiciones Alchourrón y Bulygin reconstruyen los diferentes significados de los operadores deónticos descriptivos (obligatorio, permitido fuerte y débil) categóricos y condicionales^[20]. Así, por ejemplo, siendo α el conjunto de enunciados que denotan todas las normas emanadas de una cierta autoridad normativa y Cn(α) el sistema normativo (el conjunto α con todas sus consecuencias) creado por esta autoridad, Psα(y) ↔ Py ∈ Cn(α) significa que producir el estado de cosas referido por la oración representada por “y” se encuentra permitido fuertemente según α, siempre y cuando, la norma Py pertenece al sistema normativo determinado por el conjunto de normas α. De modo semejante, Psα (y/x) ↔ (x→Py) ∈ Cn(α) significa que, según el conjunto normativo α, se encuentra permitido en sentido fuerte producir el estado de cosas referido por “y” en el caso de que suceda el estado de cosas referido por la oración “x”, siempre y cuando, la norma condicional “(x→Py)” pertenezca al sistema normativo delineado por α o, lo que es lo mismo, cuando la norma Py se derive del sistema normativo α en conjunción con x. A título ilustrativo, se podría decir que en Argentina está permitido (fuertemente) comprar productos extranjeros sin aranceles, en el caso de que el valor total sea menor o igual a 3000 U$D por envío, siempre y cuando, la norma que dice “Está permitida la compra de productos en el exterior sin carga arancelaria, cuando el valor total de la misma no supere los 3000 U$D por envío” pertenece a las consecuencias del conjunto de las normas dictadas por las autoridades argentinas (Alchourrón, 1972).

Ahora bien, a partir de las especificaciones del lenguaje FO y las definiciones de los operadores deónticos descriptivos categóricos y condicionales, pueden inferirse las siguientes leyes de subalternación, distribución y correlación para la LPN (Sistema FO):

Operadores categóricos

TF1a. Oα (y)→Psα (y)

TF2a. Oα (y1&y2) ↔ Oα (y1) & Oα (y2)

TF3a. Pwα (y1 v y2) ↔ Pwα (y1) v Pwα (y2)

TF4a. Pwα (y1) v Pwα (y2)→Psα (y1 v y2)

TF5a. Oα(y) ↔ ~Pwα (~y)

TF6a. Pwα (y) ↔ ~Oα (~y)
  

Operadores condicionales
  

TF1b. Oα (y/x)→Psα (y/x)

TF2b. Oα (y1&y2/x) ↔ Oα (y1/x) & Oα (y2/x)

TF3b. Pwα (y1 v y2/x) ↔ Pwα (y1/x) v Pwα (y2/x)

TF4b. Pwα (y1/x) v Pwα (y2/x)→Psα (y1 v y2/x)

TF5b. χ (y/x1 v x2) ↔ χ (y/x1) & χ (y/x2)

TF6b. Oα(y/x) ↔ ~Pwα (~y/x)

TF7b. Pwα (y/x) ↔ ~Oα (~y/x)

TF8b. Oα (y) ↔ Oα (y/x) para todo x [(x) Oα (y/x)]

TF9b. Psα (y) ↔ Psα (y/x) para todo x [(x) Psα (y/x)]
TF10b. Pwα (y) ↔ Pwα (y/x) para algún x [(Ex) Pwα (y/x)]

Como cabe observar, existe una marcada analogía estructural entre las leyes de subalternación, distribución y correlación de los operadores categóricos y las correspondientes a los operadores condicionales, con la salvedad de que la formalización de los operadores condicionales tiene en cuenta la representación simbólica de los casos (condiciones) respecto de los cuales tendrá lugar la consecuencia normativa (contenidos normativos modalizados por un operador deóntico). Esto último hace posible una mejor representación formal de las normas jurídicas, las cuales, por lo general, ostentan una estructura hipotética o condicional. Más aún, Alchourrón y Bulygin (2012) definen la noción de norma en sentido estricto como todo enunciado hipotético que correlaciona un caso (un elemento del conjunto Ca) con una solución normativa (un elemento del conjunto Con modalizados por un operador deóntico), lo cual implica que aquello que usualmente los lógicos deónticos consideran normas, esto es, toda expresión afectada por un operador deóntico, para los maestros argentinos solo son soluciones normativas. Esto explica por qué Alchourrón y Bulygin han dado preferencia a la representación simbólica de los operadores deónticos condicionales sobre los categóricos en la LPN en su obra Normative Systems. Por lo demás, podemos señalar que TF1a y TF1b constituyen las leyes de subalternación, mientras que TF2a-TF4a y TF2b-TF5b, constituyen las leyes de distribución de los operadores deónticos descriptivos categóricos y condicionales, respectivamente. Asimismo, si bien TF5a-TF6a y TF6b-TF10b constituyen todas leyes de correlación o interdefinibilidad de operadores descriptivos, TF8b-TF10b importan definiciones de operadores categóricos en términos de operadores condicionales con la ayuda de la cuantificación (universal y existencial). Por su parte, TF5a-TF6a y TF6b-TF7b no solo constituyen respectivamente las leyes de oposición relativas a los operadores deónticos descriptivos categóricos y condicionales, sino que también muestran algunas propiedades de la negación externa que son semejantes a las vistas en la primera presentación de la LPN (Sistema NO), a las cuales podría incluirse los siguientes teoremas (Alchourrón y Bulygin, 2012, 267): ~Oα(y) ↔ Pwα (~y), ~Oα(y/x) ↔ Pwα (~y/x), ~Pwα (y) ↔ Oα (~y) y ~Pwα (y/x) ↔ Oα (~y/x).

Para completar el panorama, habría que agregar las definiciones de la negación interna respecto de operadores categóricos y condicionales (Alchourrón y Bulygin, 2012, 267-268): 1. ┐Oα (y) = ~Oy ∈ Cn(α) y ┐Oα (y/x) = (x→~Oy) ∈ Cn(α); 2. ┐Psα (y) = ~Py ∈ Cn(α) y ┐Psα (y/x) = (x→~Py) ∈ Cn(α); 3. ┐Pwα (y) = ~O~y ∉ Cn(α) y ┐Pwα (y/x) = (x→~O~y) ∉ Cn(α).

A partir de estas definiciones es posible extraer las siguientes equivalencias (Alchourrón y Bulygin, 2012, 268):

1. ┐Oα (y) ↔ Psα (~y) y ┐Oα (y/x) ↔ Psα (~y/x);
2. ┐Psα (y) ↔ Oα (~y) y ┐Psα (y/x) ↔ Oα (~y/x);
3. Oα (y) ↔ ┐Psα (~y) y Oα (y/x) ↔ ┐Psα (~y/x);
4. Psα (y) ↔ ┐Oα (~y) y Psα (y/x) ↔ ┐Oα (~y/x).

Con respecto a la doble negación diversa (externa e interna) se pueden extraer los siguientes teoremas (Alchourrón y Bulygin, 2012, 268-269):

1. ~ ┐Psα (y) [┐~Psα (y)] ↔ Pwα (y) y ~ ┐Psα (y/x) [┐~Psα (y/x)] ↔ Pwα (y/x);
2. ~ ┐Pwα (y) [┐~Pwα (y)] ↔ Psα (y) y ~ ┐Pwα (y/x) [┐~Pwα (y/x)] ↔ Psα (y/x);
3. ~ ┐Oα (y) [┐~Oα (y)] ↔ ┐Pwα (~y) y ~ ┐Oα (y/x) [┐~Oα (y/x)] ↔ ┐Pwα (~y/x).

Huelga advertir que, si bien todas estas definiciones y leyes respecto de la negación son estructuralmente análogas a las enunciadas en la primera reconstrucción de la LPN (Sistema NO), existen dos diferencias relevantes que debemos señalar:

1. El Sistema NO, a diferencia del Sistema FO, solo tiene en cuenta operadores categóricos debido a que no considera la representación esquemática de normas hipotéticas o condicionales. Tal sistema está basado en el concepto tradicional que los lógicos deónticos tenían sobre las normas, esto es, como cualquier expresión afectada por un operador deóntico.
2. En segundo lugar, el Sistema NO supone una lógica que entiende a las proposiciones normativas como descripciones del hecho de que una autoridad ha normado un determinado estado de cosas (como descripciones de que una norma ha sido dictada por una autoridad), por ello, para su representación formal Alchourrón (1969) introduce la variable x interpretada como parámetro para dar cuenta del agente que dicta la norma y el operador N para dar cuenta de la relación de normación que vincula al agente con la norma, la cual, como vimos, se expresa en el mismo nivel lingüístico que el lenguaje objeto (lenguaje O). En cambio, el Sistema FO (segunda presentación) concibe a las proposiciones normativas como descripciones del hecho de que una cierta norma pertenece o no a un sistema normativo; de ahí que los operadores deónticos en su interpretación descriptiva sean definidos formalmente a partir de la relación de pertenencia a un sistema normativo (…∈ Cn(α)), esto es, un conjunto normativo con todas sus consecuencias (Cn(α))^[21]. Sin embargo, a pesar de tales diferencias, también es posible concebir a la primera presentación (Sistema NO) como una lógica de los sistemas normativas, puesto que resulta muy natural considerar como un conjunto normativo a una serie de normas que han sido dictadas por una autoridad determinada y puede clausurarse tal conjunto de normas respecto de la noción de consecuencia lógica que, justamente, es lo que han hecho Alchourrón y Bulygin a partir de Normative Systems^[22]. En este sentido, aunque parece no haber diferencias sustanciales entre ambos enfoques^[23], cabría decir que ha ocurrido un viraje en el modo de presentar formalmente la LPN. Una de las razones para este cambio estriba en que los maestros argentinos entendieron que los principales problemas metateóricos referidos a los sistemas jurídicos (consistencia, completitud e independencia), encuentran una presentación más clara y natural dentro del segundo enfoque, debido a que, por un lado, el Sistema FO permite concebir de manera más directa y manifiesta a la LPN como una lógica de los sistemas normativos en general y de los sistemas jurídicos en particular^[24], y, por otro lado, el Sistema FO desarrolla la LPN en un nivel metalingüístico respecto del lenguaje de las normas (Alchourrón, 1972, 106-107). Otra de las razones consiste en que las reconstrucciones de la LPN posteriores a Normative Systems –como el Sistema FO– al adoptar una concepción sistemática acerca de las proposiciones normativas (pues, analiza y representa las proposiciones normativas en términos de pertenencia a un sistema normativo), permite dar cuenta no solo de las normas jurídicas sino de cualquier tipo de norma como, por ejemplo, las morales; porque cualquier norma puede emplearse para conformar un sistema normativo, sin embargo, no toda norma es relativa a los actos prescriptivos de una autoridad determinada (las jurídicas sí pero no las morales). Es por ello que la reconstrucción elaborada por Alchourrón en 1969 (sistema NO) al basarse en una concepción prescriptiva de las proposiciones normativas ostenta un carácter más limitado que solo podría dar cuenta de aquellas normas que sean prescripciones, esto es, resultado de actos de prescribir emanados de una autoridad normativa. Incluso respecto de las proposiciones normativas referidas a normas jurídicas, una LPN que se construya en torno a la concepción prescriptivista (Sistema NO) podría presentar problemas en caso de que se admita, como es usual en el ámbito del derecho, la posibilidad de normas que por ser inválidas no pertenecen al sistema jurídico, a pesar de haber sido formuladas por una autoridad (Navarro, 2021, 16-17).

Consideración final

De todo lo expuesto, cabe afirmar que, si bien la lógica de proposiciones normativas presupone a la lógica de normas, ambas lógicas no son idénticas. Existen, al menos, cinco diferencias apreciables entre la lógica de normas y la lógica de proposiciones normativas, a saber (Bulygin, 1995): 1. La lógica de proposiciones normativas siempre es relativa a una autoridad normativa o a un sistema normativo en particular, lo cual hace necesario, en el primer caso, incluir operadores que den cuenta de la relación de normación (N) y variables interpretadas como parámetros para denotar cierta autoridad normativa, y, en el segundo caso, introducir algunos elementos de la lógica de clases (relación de pertenencia) y una notación adicional para los sistemas (Cn(α)). En este sentido, las proposiciones normativas son, en última instancia, afirmaciones sobre un sistema normativo determinado (conjunto de normas dictadas por una autoridad que comprende todas sus consecuencias lógicas), más específicamente, sobre la pertenencia o no de cierta norma a un cierto sistema (metalenguaje normativo). Por su parte, la lógica de normas versa sobre conceptos absolutos (lenguaje objeto). 2. En la lógica de proposiciones normativas se distingue entre la permisión fuerte (“Ps”) y la permisión débil (“Pw”)^[25], mientras que en la lógica de normas existe un solo concepto de permisión (“P”). 3. En la lógica de normas los operadores “P”, “O” y “Ph” son interdefinibles (P ↔ ~Ph ↔ ~O~; Ph ↔ ~P ↔ O~; O ↔ Ph~ ↔ P~), mientras que, en la lógica de proposiciones normativas, al existir dos modos de negar una proposición normativa y al haber dos tipos de operadores permisivos^[26], la prohibición y la obligación son únicamente interdefinibles en relación a la permisión débil o negativa (“Php ↔ ~Pwp” y “Op ↔ ~Pw~p” constituyen teoremas en la LPN), mientras que no lo son con respecto a la permisión fuerte o positiva (“Op ↔ ~Ps~p” no es válida en la LPN)^[27]. 4. La LPN constituye una extensión de la lógica de normas (LN) debido a que la LPN presupone ex ante la existencia de relaciones lógicas entre normas (la LPN se encuentra clausurada bajo la relación de consecuencia lógica); esto se pone de manifiesto en que los operadores deónticos descriptivos propios de la LPN se definen en términos de operadores deónticos prescriptivos propios de la LN. 5. En la lógica de proposiciones normativas existen dos tipos de negación, a saber: a. Negación externa: niega la pertenencia de la norma al sistema; b. Negación interna: niega a la norma misma afirmando su norma-negación.

Como bien señala Alchourrón (1969), muchas de las dificultades relativas a la interpretación y aceptación de numerosos sistemas de lógica deóntica elaborados en la actualidad han provenido de la falta de diferenciación entre estas dos lógicas. No obstante, a pesar de tales diferencias, debe señalarse que la lógica de normas y la lógica de proposiciones normativas (considerando tanto el Sistema NO como el Sistema FO), resultan idénticas o equivalentes bajo los supuestos de completitud (determinación normativa) y consistencia (no incoherencia normativa). En otros términos, cuando tomamos como referencia un conjunto normativo completo (sin lagunas) y consistente (sin antinomias), el cálculo lógico para los operadores deónticos descriptivos propio de la LPN resulta isomorfo con respecto al cálculo lógico para los operadores deónticos prescriptivos propio de la lógica de normas. En consecuencia, la permisión fuerte (aquella que expresa que una autoridad normativa ha dictado una norma permisiva y, por tanto, una norma permisiva explícita pertenece a un sistema normativo de referencia) resulta equivalente a la permisión débil (aquella que expresa que una autoridad normativa no ha dictado una norma prohibitiva y, por tanto, se afirma la ausencia de una norma prohibitiva en el sistema normativo de que se trate)^[28]. Esto se explica porque la fórmula “Psp ↔ ~O~p”, que constituye la análoga del teorema de la LN “Pp↔ ~O~p”, deviene válida en la LPN cuando el sistema normativo de referencia es consistente y completo, lo cual se expresa formalmente como sigue: “[(Consαp)&(Compαp)] ↔ (Psp ↔ ~O~p)” (Rodríguez, 2003; Ratti, 2018). Partiendo de las respectivas definiciones de consistencia y completitud normativa^[29], lo dicho anteriormente puede comprobarse lógicamente del siguiente modo:

De este modo, cabe comprobar que cuando un cierto sistema normativo (α) es consistente (Consαp) y completo (Compαp) con respecto a un estado de cosas p, si tal estado de cosas no está prohibido en el sistema, entonces, dicho estado de cosas se encontrará expresamente permitido en α y si p se encuentra expresamente autorizado en α, entonces, p no estará prohibido en el sistema normativo en cuestión (Ratti, 2018). Ahora bien, tomar nota del isomorfismo de ambos cálculos bajo condiciones de consistencia y completitud resulta fundamental porque tales condiciones ocultan la ambigüedad de las expresiones deónticas (que pueden ser interpretadas tanto prescriptiva como descriptivamente) y, por ende, las diferencias antes apuntadas entre la LN y la LPN. En efecto, se ha interpretado la lógica de normas con el significado de la lógica de proposiciones normativas (como es el caso de von Wright en Norm and Action) o viceversa, debido a que, habitualmente, los supuestos de completitud y consistencia son asumidos tácitamente. Todo esto constituye un fuerte indicio de por qué gran parte de los lógicos deónticos y, especialmente, los filósofos del derecho no han prestado suficiente atención a la lógica de proposiciones normativas (Alchourrón, 1969, 69-70). Incluso, el propio von Wright (2003b) admitió que le tomó cerca de 30 años comprender la relevancia de la distinción entre normas y proposiciones normativas y, consecuentemente, la importancia de las dos lógicas a las que dan lugar tales entidades. De hecho, las funciones de una y otra lógica, aunque vinculadas, son también diferentes. Así, siguiendo a Ratti (2018), podemos decir que la LN presenta dos funciones principales: a. Una función inferencial, puesto que brinda una serie de reglas de inferencia, adicionales a las de la lógica proposicional (de ahí que sea una extensión conservadora de la misma), las cuales posibilitan deducir normas a partir de otras normas como, por ejemplo, O(p&q)↔(Op & Oq), o bien, Op→Pp; b. Una función analítica que consiste, por un lado, en brindar criterios para detectar antinomias, incompatibilidades o conflictos entre normas (a través de la definición de contradicción normativa “Op&~Op”) y, por otro, en brindar condiciones mínimas para que una formulación normativa exprese una norma. Por su parte, la LPN también ostenta dos funciones principales: a. Dar cuenta de las posibles inferencias relativas a las proposiciones normativas que señalan la pertenencia o no de ciertas normas respecto de un sistema normativo determinado; b. Dar cuenta de las inferencias admisibles en relación a sistemas normativos subóptimos, esto es, sistemas normativos incompletos y/o inconsistentes (Ratti, 2018).

Para finalizar, huelga decir que –para muchos– la importancia de la LPN radica en el hecho de que ésta parece importar una vía plausible de escape al mentado Dilema de Jørgensen. En efecto, generalmente se piensa que la LPN constituye una reconstrucción de la lógica deóntica inobjetable desde el punto de vista tradicional de la lógica, el cual asocia la posibilidad de realizar inferencias lógicas únicamente respecto de enunciados apofánticos, esto es, enunciados susceptibles de ser verdaderos o falsos^[30]. Naturalmente, tal punto de vista excluye a las normas porque éstas no poseen valores veritativos, sin embargo, la LPN interpreta las expresiones deónticas no como normas sino como proposiciones normativas, es decir, como enunciados descriptivos acerca de la existencia de normas susceptibles de ser verdaderos o falsos, por lo cual, quedaría a salvo de la objeción tradicional. Empero, esto no parece ser tan así. En primer lugar, si bien la LPN constituye un utensilio lógico indispensable para el análisis de los sistemas normativos, no puede actuar directamente como una teoría sustitutiva de la lógica de normas porque muchas de las inferencias normativas de la LN no son fórmulas válidas en la LPN como pudimos ver. Como corolario de lo anterior, la LPN tampoco constituye un sustituto plausible de la lógica de normas debido a que no sirve para la justificación de las propias inferencias normativas que, por ejemplo, realizan los agentes morales o jurídicos. En efecto, para justificar una decisión práctica (judicial), por ejemplo, un juez necesita efectuar una inferencia de carácter normativo derivando su decisión a partir de las normas mismas y no de simples proposiciones normativas (Bulygin, 1995). Por último, al ser una extensión de la lógica de normas, la LPN presupone necesariamente la existencia de relaciones lógicas entre normas. Sus conceptos fundamentales son definidos en términos de consecuencia lógica, lo cual implica ya la existencia de relaciones de derivación entre normas. Esto nos coloca nuevamente frente al Dilema de Jørgensen, siempre que consideremos que las normas carecen de valores veritativos y que definamos las relaciones lógicas en función de la noción de verdad tal como ocurre con la posición tradicional (Bulygin, 1995). Más aún, si se admitiese la inexistencia de relaciones lógicas entre normas, la LPN perdería toda su especificidad (leyes lógicas propias), pues, los sistemas normativos solo comprenderían las normas expresamente formuladas (y no las normas derivadas de ellas), lo cual reduciría la LPN a una mera lógica proposicional aplicada a los actos de sanción y eliminación de normas (Ratti, 2018). Siendo este el panorama, parece que la única opción a la vista sería ampliar nuestra concepción sobre la lógica más allá de las fronteras de la verdad de manera tal que se admitan las relaciones lógicas entre normas a pesar de su carencia veritativa. Tal camino fue explorado parcialmente por Alchourrón en la década de los noventa al proponer una concepción abstracta de la noción de consecuencia lógica, sin embargo, su prematura muerte le impidió profundizar el recorrido. En tal sentido consideramos que el examen y desarrollo de este sendero marcado por Alchourrón (y quizás también por Bulygin) constituye uno de los más importantes desafíos para el progreso de la lógica deóntica.

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