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2 Zenón

Comencemos por ocuparnos primero del discípulo, Zenón de Elea[1], y de sus paradojas. La más famosa de todas concierne a “Aquiles, el de los pies ligeros” que sería incapaz de alcanzar a la lenta tortuga. Alumno directo de Parménides, Zenón escribió una recopilación de paradojas o, mejor dicho, de situaciones absurdas. Seguramente ningún otro antes que él había hecho algo semejante –y, en realidad, tampoco después–.

Concebir y “poner en pie” una paradoja es una operación muy compleja y extraordinariamente innovadora. La paradoja no es como el enigma que tiene una única respuesta, incluso banal, aunque esta sea difícil de identificar gracias a su meticulosa elaboración. En comparación, la paradoja tiene una vida mucho más larga porque, una vez develado su secreto (suponiendo que sea un secreto, ya que en realidad Aquiles es perfectamente capaz de alcanzar a la tortuga), la cuestión no se vuelve banal, sino que, al contrario, continúa intrigando y dando que pensar.

2.1. Paradojas y enigmas

Me explico con dos ejemplos. El enigma de la Esfinge, propuesto a un grupo de personas que no escuchó jamás hablar de él, puede bien crear un poco de tensión en la búsqueda de una respuesta o solución adecuadas. Sin embargo, al final siempre hay alguien que logra descubrir su pequeño secreto y comprender que, en realidad, la Esfinge está hablando del hombre que de chico gatea –y, por lo tanto, puede parecer cuadrúpedo–, después se pone de pie –bípedo–, etc. En ese punto, la magia del enigma se disuelve y la novedad pierde interés. Después, la única posibilidad residual es probar contar la historia apropiadamente para poder así lograr desafiar a otras personas con el mismo enigma.

Tomemos, en cambio, la más famosa de las paradojas zenonianas, la de Aquiles. En este caso, lo que se esboza es una especie de conversación:

– ¿Aquiles –el más veloz– sabrá alcanzar a la tortuga –la más lenta–?

– Ciertamente sí, si es más veloz.

– ¡Pero yo sostengo que el más veloz no podrá alcanzar al más lento!

– ¡Vamos, seguramente lo logrará, si es más veloz!

– Sin embargo, si lo piensas bien, comprenderás tú también que no tendrá éxito.

– ¡Pero no! De todos modos, incluso suponiendo que tuvieses razón, ¿qué más tendría que comprender?

– Considera este punto: si el más veloz debe alcanzar al más lento, al comienzo se dirigirá al punto en que se encuentra el más lento. ¿Estamos de acuerdo al menos en esto?

– Sobre esto sí.

– Pero, ¿mientras tanto el más lento habrá estado quieto? ¿Se habrá quedado allí a esperar?

– Obviamente no. Si es lento, quiere decir que se mueve.

– Por lo tanto, el más veloz, una vez llegado a aquel punto, deberá todavía hacer otro pequeño camino, correspondiente al avance que el más lento habrá efectuado en ese tiempo.

– ¡Claramente!

Para comenzar, observo que en el caso de la paradoja de Aquiles lo obvio se derrumba poco a poco y lo que no es obvio se insinúa en la mente con mucha eficacia. Luego, observo que la cuestión de las distancias cada vez más pequeñas (primero, el más veloz deberá llegar a donde el más lento se encontraba al inicio, después donde el más lento ha llegado en ese tiempo y así sucesivamente) es solo aparentemente extraña porque quien persigue a la tortuga termina verdaderamente recorriendo el trayecto que esta apenas hizo. Así, yo puedo intuir que la persecución debería resultar exitosa de todos modos. No obstante, la dificultad de comprender bien lo que está mal con la identificación individual de estas distancias cada vez más pequeñas persiste de la misma manera.

La explicación justa se ha delineado muy recientemente cuando, en vez de hacer el dibujo con dos puntos que recorren una línea recta y hacer cálculos, se pasó a considerar que la cuestión de las distancias cada vez más breves, pero infinitas, no se refiere a la ejecución de la persecución, sino únicamente a su descripción o representación. Es como si Zenón hubiese insinuado: “si no puedes ni siquiera identificar individualmente todas estas distancias cada vez más pequeñas, ¿cómo puedes pensar en anular la distancia?”. Sin embargo, eliminar completamente una distancia es un hecho (una cuestión de mayor velocidad), no una descripción y no depende –no puede depender– del desarrollo de la descripción.

Para darnos cuenta, necesitamos pensar en esto un momento porque una larga tradición habló siempre y solamente de puntos que se acercan, se acercan y se acercan, pero no consiguen tocarse. Sin embargo, una cosa es ser manifiestamente más veloz y, por lo tanto, estar en condiciones de alcanzar a la tortuga, mientras que otra cosa totalmente diferente es razonar sobre las divisiones y considerar que, si se subdivide el camino del modo indicado, es como si la división diera siempre un nuevo resto al infinito –por ejemplo, como si me propusiese dividir siete entre tres–. Pero todo esto, por más que pueda ser interesante, ¿tiene algo que ver con efectuar una verdadera persecución? En una verdadera persecución, si el que está detrás es más veloz, quien está adelante será inevitablemente alcanzado.

Entonces ¿cómo habrá hecho Zenón para contar su historia tan bien como para desorientar y, al mismo tiempo, fascinar a medio mundo? Tanto es así que pasó esto: en 2008, en Japón, realizaron una película, Akiresu to kame (Aquiles y la tortuga), confiada a un director de gran experiencia y notoriedad, Takeshi Kitano, con la presuposición de que también en Uganda, en la Patagonia e incluso en Mongolia, la gente en su mayoría tiene alguna idea sobre tan extraña historia, sabe reconocerla y sigue sintiéndose intrigada por ella.

Comenzamos con esto a entender que el Aquiles de Zenón no es un enigma porque no tiene la clásica respuesta resolutiva, aquella que cierra el discurso. El Aquiles tiene una larga cola porque nadie piensa que no haya algo más sobre lo que preguntarse. Siempre hay algo más para comprender. Aquella es un historia que podríamos caracterizar como “viscosa”, dada la espontaneidad con la que volvemos a preguntarnos: “Sí, pero, ¿por qué?”; “Sí, pero, ¿y entonces?”; “Sí, pero, ¿cómo hace para sortear el obstáculo?”; “Sí, pero, ¿dónde quería llegar Zenón?”. Evidentemente estas preguntas tienen la capacidad de mantener despierta nuestra curiosidad mucho tiempo. La diferencia fundamental con respecto a un enigma clásico como el de la Esfinge es precisamente esta vitalidad, esta curiosidad que no se apaga fácilmente.

Siempre en relación con Aquiles, retomamos por un momento la última pregunta formulada: ¿A dónde quería llegar Zenón? Una posibilidad concreta es esta: que estaba buscando el modo de llamar la atención de sus contemporáneos sobre lo infinitamente pequeño. De hecho, en Grecia se empezó a hablar precisamente en este tiempo de lo que es tan pequeño que no se puede ver o tocar y, tal vez, por mérito suyo. Pero, permanece la curiosidad sobre cómo se llega a insinuar que una operación tan simple como, por ejemplo, correr y alzar en brazos a un chico que está corriendo pueda convertirse, gracias a Zenón, en una cuestión complicada. Así, comenzamos a comprender que Zenón no solo se dedicó a familiarizarnos con lo que es demasiado pequeño como para poder ser visto o tocado, sino que también se propuso otros objetivos: como mínimo, aprender a desarrollar una forma de comunicación que sorprende como un enigma, pero que también es capaz de mantener despierta la atención mucho tiempo y de muchos modos.

2.2. Pero, ¿qué tipo de intelectual ha sido Zenón?

La pregunta que he formulado merece atención. Si pensamos por un momento en el contexto, comprendemos rápidamente que Zenón tuvo muy poco en común con los intelectuales que pudo conocer, incluso con Parménides. Este pudo haberlo encaminado en la construcción de sus razonamientos sofisticados porque fue, entre otras cosas, un formidable maestro en el arte de construir razonamientos[2]; pero todo lo demás fue, por lo que se puede saber, extraño al mundo mental del distinguido Parménides, es decir, harina del costal de Zenón.

De hecho, Parménides se movió en el horizonte de lo cognitivo (ha elaborado un gran número de enseñanzas diversas, todas o casi todas dignas de la más grande atención), mientras que da la impresión de que Zenón se interesó no en enseñar, sino solo en conversar, entretener, generar curiosidad, sorprender, interactuar con su auditorio e infundir más de una duda. En realidad, sus paradojas son instructivas, aunque él evita con cuidado ponerse en el lugar de maestro y no enseña nada. No obstante, nos invita a pensar, nos hace reflexionar, como mínimo, nos deja pensativos. Tiene, por lo tanto, otra postura, una postura sumamente innovadora, ya que de ella no hay rastros significativos antes que él.

Alguien podría señalar que el teatro trágico ateniense tiene esta capacidad de dejarnos pensativos y perplejos, por ejemplo, cuando nos preguntamos si Clitemnestra tenía razón al asesinar a Agamenón (que seguía siendo su marido), si Orestes tenía razón al vengar a su padre (¡pero matando a su madre!) y qué quiere decir que el tribunal del Areópago absolvió a Orestes solo porque la diosa que presidía la jura popular se atribuyó un derecho de voto decisivo. En estas condiciones cada espectador, como mínimo, se pregunta: si yo tuviera que haber votado, ¿cómo habría votado? Sin embargo, (A) la típica paradoja zenoniana es concebida a partir de una fórmula comunicacional completamente diferente (no un complicado espectáculo teatral, sino solo pocas palabras bien dirigidas); (B) Atenas quedaba más o menos a un mes de navegación desde Elea y, si Zenón vio alguno de estos espectáculos, seguramente tuvo esta oportunidad cuando su libro y sus paradojas ya eran una realidad. En cambio, no sabemos (C) si Zenón tuvo noticia en ese tiempo, mientras estaba todavía en Elea, de cómo eran concebidas las tragedias representadas en Atenas. Y no sabemos tampoco (D) si pudo intuir que entre aquellos espectáculos y sus paradojas había algún punto en común (después de todo, ¡el punto en común no es del todo evidente!). Estas razones nos invitan a suponer que Zenón se encontró probablemente haciendo todo por sí solo, lo que incrementa nuestra admiración.

2.3. Explíquese mejor

Primera pregunta: ¿podemos decir que las paradojas de Zenón tienen su base en situaciones un poco extrañas? El conflicto es el alma de las historias. Pensemos un conflicto típico: “¿Qué otra cosa habría podido hacer la protagonista en determinada situación? Ciertas cosas no las sabía realmente, no le vino a la cabeza una idea que hubiera podido ayudarla, entonces se vio obligada a elegir entre A o B y por desgracia eligió B”. ¿Cuántas veces sucede que leemos o vemos a un personaje que se encuentra en una situación de este tipo, esto es, en una situación difícil de la que nosotros, lectores o espectadores, sabemos algo más que lo que sabe la protagonista e incluso estamos en condiciones de imaginar una posible solución C? Si la historia tiene su lógica, si nuestra atención como lectores o espectadores está bien guiada, fácilmente nos sucede que empatizamos con el personaje, comprendemos la dificultad en la que se ha encontrado e incluso también nos emocionamos, ¿verdad?

Ahora bien, también los enigmas toman forma a partir de una situación problemática. Basta pensar en la condición del transeúnte que, de pronto, se encuentra ante un monstruo (la Esfinge) y, frente a la amenaza de ser comido o asesinado, se le plantea una pregunta difícil: “Te podría perdonar la vida solo si sabes responder a mi pregunta, etc.”. Esta es una situación problemática en todo sentido y el enigma es el resultado de cómo se produce la comunicación en una situación dada.

Análogamente, el enigma de los piojos nace de una situación problemática. Heráclito cuenta que el gran Homero pasa por al lado de unos chicos que se estaban sacando piojos. Estos chicos le preguntaron: “Maestro, aquello que hemos agarrado no lo tenemos y aquello que no hemos agarrado lo tenemos, ¿de qué se trata?”. En ese momento, el gran Homero se habría quedado perplejo y se habría mostrado totalmente incapaz de responder.

Aún más, la historia de “Nadie” se encuentra en una situación problemática. Odiseo debe, antes que nada, hacer saber a Polifemo que él se llama “Nadie” (Oútis). Después debe desarrollarse el evento del enceguecimiento de Polifemo para que al final este llame a sus “hermanos” cíclopes pidiendo ayuda. Pero, desafortunadamente, frente a la pregunta “¿Quién te ha enceguecido?” responde “Nadie” y sus amigos se ríen.

Volvamos ahora a Zenón. Él pregunta: “¿Aquiles, el de los pies ligeros, logrará alcanzar a la lenta tortuga?”, “¿La flecha en vuelo se mueve o está quieta?”, etc. También estas son situaciones problemáticas, pero, ¿son situaciones sustancialmente análogas? No lo creo. Al menos, a primera vista, en su mundo no ocurre nada extraño: ¿qué cosa hay más natural que percibir a un transeúnte que camina a buen paso, tanto como para alcanzar y sobrepasar sin dificultad a más de una persona, o percibir una flecha recién lanzada? El punto de partida de Zenón es la plena normalidad, una normalidad que no es perturbada por ningún imprevisto. Incluso si Aquiles, “el más veloz”, se limita a ir hacia allí donde ha visto que se encuentra la tortuga, ¿podría dirigirse hacia otro lado si su objetivo era alcanzar precisamente a aquella tortuga?

Lo que genera intriga es esto: ¿cómo demonios hacía Zenón para lograr que aquello que debería haber pasado no pasase? En otras palabras, ¿cómo hacía para partir de una situación normalísima y hacer que se convierta en una situación enrevesada? Para orientarnos, deberemos tomar en consideración otras situaciones paradójicas y examinarlas con cierta atención.

2.4. La flecha

Podemos partir de la flecha, pero hay un inconveniente: es necesario tomar en consideración algunas frases un poco abstrusas en las cuales, subrayo, nadie está obligado a detenerse.

Con respecto a esta paradoja, disponemos de dos datos. El primero nos dice que “si cada cosa está siempre inmóvil allí donde se encuentra cuando está en el igual, y si, cuando se mueve, está siempre en el momento presente, entonces la flecha arrojada está inmóvil”. El segundo dato nos dice que “lo que se mueve no se mueve ni en el lugar en el que está ni en el lugar en el que no está”. La segunda frase nos ayuda a comprender la primera: “cuando está en el igual” = “cuando está en una porción de espacio igual a sí misma”; “está siempre en el momento presente” = “está siempre en un ahora, en un instante”. Pero debemos invertir la primera frase. En efecto, el discurso solo se acomoda si, en vez de decir “si cada cosa permanece quieta cuando se encuentra en una porción de espacio igual a sí misma”, decimos que “cuando una cosa se encuentra ocupando una porción de espacio igual a sí misma, aquella cosa esta quieta”. Con buena voluntad, llegamos a entenderlo.

En esencia, Zenón está diciendo que cada cosa está en alguna parte y ocupa una porción de espacio. Es decir, una manzana ocupa una porción de espacio diferente de aquella ocupada por una banana y la banana, una porción de espacio diferente de aquella ocupada por la bandeja de frutas en la cual ha sido apoyada. ¿Qué pensar de la flecha mientras está en vuelo? ¿La flecha no estará ocupando también una porción de espacio igual a sí misma en cada instante? Entonces, en cada instante la flecha se encuentra en alguna parte, hecho que nosotros, como modernos, podríamos fácilmente constatar si la filmáramos y observáramos en cámara lenta o cuadro por cuadro. Por lo tanto, en cada instante está donde está. De hecho, en cada instante no está más donde estaba primero y no está aún donde estará un momento después. También antes estaba en un lugar y también después estará en un lugar. Entonces, en cada instante de su vuelo la flecha está en alguna parte, siempre ocupando una porción de espacio igual a sí misma. De todo esto surge una pregunta: ¿cuándo se mueve la flecha? Mientras vuela, ¿no estará siempre quieta, ya sea aquí o allá? ¿Quizás vuela estando quieta? ¿Está volando, pero al mismo tiempo esta quieta? ¡Hay algo que no cierra!

Como se ve, esta es una bellísima paradoja porque Zenón nos invita a pensar, y de forma muy eficaz, que la idea de una flecha en vuelo no funciona bien. Nos desafía a encontrar una solución y al hacerlo nos quedamos perplejos. En efecto, una solución plausible para desatar este nudo no nos viene a la mente con facilidad. Por ejemplo, no basta con decir que si la flecha en vuelo se quedara quieta, caería a tierra y que esto prueba que realmente estaba en vuelo (entonces no está quieta, sino en movimiento), porque aún con esta aclaración queda todavía algo por comprender.

Si “la flecha” fuese un mero enigma, este dilema que no se apaga no traería tanta cola. Y el dilema no se apaga porque algunos estudiosos han llegado a decir que hasta que no tengamos ideas mucho más precisas sobre espacio y tiempo jamás solucionaremos esta paradoja. Es decir, aquellos que se preocupan por entender la paradoja de la flecha llevan a cabo estudios detallados sobre la verdadera naturaleza del espacio y el tiempo.

Sin embargo, también en este caso creo poder decir que habría una solución, a pesar de las apariencias, y no es particularmente complicada: la flecha está quieta mientras se mueve. Yo, por ejemplo, estoy sentado en este escritorio mientras escribo algunas palabras en el teclado. Mi cuerpo está ubicado en un lugar preciso, incluso si no dejo de hacer pequeños movimientos; también mis dedos continúan estando en alguna parte mientras pasan de una letra a la otra. Por lo tanto, el problema simplemente no existe. Se puede objetar a Zenón que el hecho de estar en alguna parte, incluso cuando se está en movimiento, no es un problema. Las dos operaciones no son incompatibles. Sin embargo, él está listo para renovar la pregunta: ¿qué quiere decir que estás quieto y te movés? ¿Cómo hacés para no intuir que la expresión está siempre al borde de la contradicción? ¿No te parece que, si cada uno de nosotros continuamente está quieto y sin embargo se mueve, entonces hay algo que se nos escapa, algo que no entendimos del todo?

Evidentemente, la discusión –o, si se prefiere, la batalla– está en condiciones de continuar, pero el autor de estas páginas prefiere hacer como Zenón y dejar que sea en todo caso el cortés lector, la cortés lectora, quienes se pregunten y prueben razonar con quienes quieran.

2.5. El grano de mijo

Veamos ahora una paradoja que raramente es recordada. Nos llegó a través de Simplicio y su Comentario a la Física de Aristóteles, obra escrita aproximadamente a mil años de distancia de los tiempos de Zenón. Este último tuvo oportunidad de formular algunas preguntas a un ilustre contemporáneo suyo: Protágoras. Tratemos de leer (traduzco simplificando un poco):

–Dime, Protágoras: ¿un grano de mijo hace ruido al caer? ¿Y la diezmilésima parte de un grano hace ruido?

–Bah, la diezmilésima parte no, no hace ruido.

–En cambio, una fanega[3] de granos de mijo hace ruido si se cae, ¿verdad?

–Sí, por supuesto.

–Pero, ¿no debería existir la misma proporción entre una fanega y un grano, y entre un grano y su diezmilésima parte?

–Sí.

–Entonces ¿no deberían existir las mismas proporciones también entre los sonidos? Si una fanega de granos de mijo hace ruido y también hace ruido un solo grano de mijo, ¿no debería hacer ruido también la diezmilésima parte del grano?

(Simplicio, Comentario a la Física de Aristóteles, 1108, DK 29 A 29)[4]

Nosotros diríamos: ¡Seguro que sí! Tal vez se trate de un sonido imperceptible, pero ¿qué importa? Sigue siendo un ruidito. El hecho de no escuchar un ruido tan leve no obliga a pensar que el micro-grano no hace precisamente ningún sonido. Después de todo, ¿no hay sonidos lejanos que no advertimos? Sin mencionar que dividir un grano de mijo en 10.000 partes es una empresa completamente inalcanzable[5]. Supongo, además, que un mortal común no lo podría dividir ¡ni siquiera en ocho o seis partes!

Pero todo esto lo decimos nosotros. Es perfectamente posible que en la época de Zenón la gente no tuviese idea de estas cosas y que haya sido justamente él quien atrajo la atención sobre lo infinitamente pequeño (en este caso, sobre partes tan pequeñas que ni siquiera se podría imaginar un modo de subdividirlas con la precisión necesaria y también sobre ruidos tan imperceptibles que nos resulta difícil creer que realmente estén allí). Es perfectamente posible que Zenón haya utilizado esta paradoja, el Aquiles y otras que veremos a continuación, para intrigar a las personas con respecto a lo extremadamente pequeño y determinar una familiaridad inicial con tales dimensiones de lo real (el siguiente paso lo dio, en cierto sentido, Pasteur con la ayuda del microscopio, ¡pero en pleno siglo XIX, es decir, a una distancia de aproximadamente 2.300 años!).

La paradoja del grano de mijo ha podido, por lo tanto, llegar a ser una paradoja al menos en tiempos de Zenón, cuando la gente no estaba todavía “educada” para representarse aquello que es tan pequeño como para no poder ser percibido. En efecto, es interesante notar que Parménides enseñó algo análogo: que las estrellas son, seguramente, más numerosas que aquellas que el mejor de nosotros puede contar a simple vista. Análogamente, los pedazos de grano de mijo podrían ser tan pequeños como para constituir apenas la diezmilésima parte de un grano y debe considerarse que bien puede ser así: es instructivo tener en cuenta también estas “posibilidades imposibles”.

Observo, además, que la paradoja del grano de mijo no “muere” porque tiene el poder de provocar y alimentar una curiosidad de larga trayectoria, justamente por el hecho de que supera los límites de nuestra capacidad de percibir. Por otra parte, la paradoja de la flecha también está en condiciones de alimentar la curiosidad por aquello que ocurre en un momento preciso, aquello que veríamos si pudiésemos fijar un solo instante. Zenón ha sido el primero en dedicarse a la elaboración de este tipo de curiosidades y, por lo tanto, de un conjunto de nociones ligadas a las formas que puede asumir lo “muy pequeño”.

2.6. El estadio

Aristóteles menciona que otra afirmación de Zenón es que la mitad del tiempo es igual al doble. Con este fin, él invita a representarse unos cuerpos quietos, mientras que, al mismo tiempo, algunos cuerpos avanzan en una dirección y otros, en la dirección opuesta. Este antiguo esquema gráfico que encontramos ya en Aristóteles ayuda a entender:

Rossetti 1

Sobre el tema se han hecho conjeturas extrañas, pero probablemente la historia sea muy sencilla. Mientras los cuerpos B pasan delante de un cuerpo A, también pasan delante de dos cuerpos C. Es eso que todos nosotros hemos experimentado en un tren cuando otro pasa en dirección opuesta –en cuyo caso las dos velocidades se suman–, o cuando pasamos al lado de un tren que se mueve en la misma dirección pero, por ejemplo, más lentamente –en ese caso, la velocidad percibida es igual a la diferencia entre las dos velocidades–. Las experiencias que para nosotros son familiares y de fácil interpretación debían constituir experiencias raras en los tiempos de Zenón (no había ocasiones en las cuales esto pudiera suceder), por lo cual bien podría sonar paradójico que los cuerpos B registrasen, al mismo tiempo, dos velocidades (por supuesto, velocidades relativas) claramente distintas a medida que se consideran los cuerpos situados a la derecha y aquellos situados a la izquierda.

Notamos que, en este caso, Zenón no ha dicho que las dos velocidades sean diferentes (una más baja y otra más alta), sino que una es exactamente la mitad y la otra, inversamente, el doble. Esto demuestra que él ha pensado en dos cuerpos que se mueven a la misma velocidad y a velocidad constante. Por lo demás, Zenón no usa el término “cuerpos” (ónkoi) por casualidad. Está refiriéndose a entidades abstractas y, como el dibujo da a entender, a una sucesión de objetos que tienen las mismas dimensiones, de modo que se pueda ver bien que, mientras de un lado “pasan” exactamente dos cuerpos, del otro “pasa” uno solo. En efecto, los trenes de antes, con los vagones separados y todos de igual tamaño, permitían materializar este tipo de situación. Ahora bien, Zenón “obliga” a sus oyentes a imaginarse una situación de la que difícilmente habrían tenido experiencia directa y a razonar a partir de ello.

Esta circunstancia alienta a presumir que Zenón habría visto con satisfacción la representación abstracta de la persecución de la tortuga que estimuló tanto la curiosidad de los matemáticos. Es decir, que habría visto con satisfacción el pasaje de un esquema vagamente antropomórfico a este otro:

b

Y, por lo tanto, a una situación en la cual dos puntos geométricos, digamos P y Q, avanzan sobre la misma recta, en la misma dirección y a velocidad constante, de modo tal que cuando el punto P llega a la altura de A, el punto Q habrá llegado a la altura de B; cuando el punto P llega a la altura de B, el punto Q habrá llegado a la altura de C, y así sucesivamente. Esta era una buena forma de confundir las ideas, así como lo es la representación abstracta donde aparecen tres series de cuerpos iguales, alineadas y colocadas a la misma distancia unas de otras, dos de las cuales se mueven a la misma velocidad y a lo largo de líneas rectas paralelas. Entonces los oyentes de Zenón debían también imaginar e identificarse con uno de los cuerpos del grupo B en movimiento y luego aprender lo que hubieran podido ver. Siempre se establece un obstáculo mental, una dificultad para pensar, un intento de bloquear la voz del sentido común superponiendo esta o aquella complicación: es el arte de este antiguo maestro de Elea que siempre encuentra el modo de hacernos reflexionar.

Si, por falta de modelos físicos suficientemente intuitivos, la genial invención de Zenón requiere realizar la no leve tarea de imaginarse con la debida precisión tres series de cuerpos iguales de los cuales una está quieta y dos en movimiento, etc., entonces el obstáculo mental fue tan grande como para lograr desorientar seguramente a todo su público, es decir, tan grande como para instituir una paradoja. Mientras tanto Zenón logró despertar en la mente de sus oyentes nada más ni nada menos que la idea de velocidad relativa.

2.7. El corredor

Veamos ahora la paradoja del corredor, llamada también “la dicotomía”, que retoma la problemática de lo “demasiado pequeño” desde un nuevo punto de vista y agregándole mucha pimienta. Zenón comienza haciendo notar que el primer paso de quien se pone a correr (o si se prefiere, cada primer paso) necesariamente tiene una primera mitad; la primera mitad, a su vez, tiene una primera mitad (que corresponde a un cuarto de lo avanzado en el total del primer paso), y así sucesivamente. Después de esto afloran cuestiones dramáticas: dado que se puede tomar en consideración no solo un cuarto, sino también un octavo, un dieciseisavo, etc., ¿cuán microscópica deberá ser la primera porción del primer paso si el proceso de subdivisión se lleva muy lejos? ¿La persona que corre será capaz de recorrer el primerísimo fragmento de paso? En estas condiciones, ¿cómo hacer para determinar el segundo micro-paso? ¿Será siquiera posible hacer el segundo micro-paso? Así, la atención cae nuevamente sobre aquello que es demasiado pequeño como para poder ser observado. Las cosas se complican todavía más. Estamos de acuerdo en que cualquier distancia realizada se encuentra hecha de muchas micro-distancias. Mientras más pequeñas sean estas micro-distancias, más difícil se vuelve observarlas (u obtenerlas, si se trata de subdividir[6] un objeto, por ejemplo, una cuerda). Pero Zenón insiste: estas tienen la capacidad de ser virtualmente infinitas en número (y cada una infinitamente corta), por lo que la longitud de las partes corre el riesgo de convertirse en cero o llegar muy cerca de cero. Sin embargo, siendo infinitas en número, estas micro-distancias no pueden ser atravesadas en tanto que no paran jamás de “generar” siempre nuevas micro-porciones: no 10.000, sino una serie infinita. En efecto, no digo la mitad del primer paso, sino que también un centésimo del primer paso sería un segmento que, al menos en teoría, se podría subdividir ulteriormente en micro-micro-micro-pedacitos de paso. ¿Y entonces? Si además el corredor tuviera que atravesar todos estos micro-micro-micro-pedacitos de paso uno por uno, ¿cuándo terminará? ¿No se arriesgará a emplear una cantidad enorme de tiempo, una cantidad infinita? Y aún peor: ¡¿tiene sentido preguntarse si, en estas condiciones, el corredor logrará siquiera partir?!

Como se puede ver, entra clamorosamente en escena lo infinitamente pequeño y, con esto, cualquier insidia adicional. De nuevo, se parte de una obviedad que no preocupa a nadie (¿antes de hacer un paso, hacemos o no hacemos medio paso?), pero después la situación se escapa de las manos cuando las partes se multiplican vertiginosamente. ¿Qué hacer entonces?

Aquello que Zenón sostuvo parece ser, en efecto, la imposibilidad de ponerse a correr (“por lo tanto, no logra moverse”, ouk endékhetai kineîsthai, como refiere Aristóteles en Tópicos 160b8-9). La paradoja nace de esta presunta imposibilidad, debido a la dificultad de explicar qué es lo que sucede exactamente al inicio –o si se prefiere, debido a la imposibilidad de enumerar una por una todas las micro-distancias que, puestas juntas, forman el primer paso–. En efecto, cuando se comienza a dividir, falta una buena razón para dejar de hacerlo. Volvamos por un momento al Aquiles. En ese caso, el perseguidor no lograba llegar porque quedaba siempre otra micro-distancia por recorrer inmediatamente después. En cambio, en el caso del corredor, hay siempre otra micro-distancia por recorrer antes que todas las demás. Aquiles no logra llegar, mientras que el corredor no logra partir, pero el resultado es el mismo y el razonamiento es del mismo género.

Entonces, tal vez la ganzúa con la cual desactivar esta imposibilidad es análoga. En efecto, también en el caso de la flecha interviene un intercambio no justificado entre efectuar el primer paso y rendir cuentas de aquello que sucede mientras se lo efectúa. Zenón parece hacer el máximo esfuerzo por sugerir que solo se puede realizar una tarea de carácter ejecutivo (ponerse a correr) si está (o cuando esté) disponible una descripción creíble de aquello que sucede mientras quien corre realiza su primerísimo paso. Esta descripción no resuelve nada, ya que es prisionera de la multiplicación de los micro-avances al infinito, por lo que se puede suponer que la carrera no puede ni siquiera comenzar.

Pero hay una pregunta que tiene sentido hacerse: ¿la realización de una carrera depende de cómo nos representamos las fases del primer paso? Si soy capaz de realizar un paso, es perfectamente posible que haga mientras tanto millones de micro-micro-micro-avances, pero si me puse a correr, no tengo en cuenta aquello que puede suceder en aquellas micro-fracciones de tiempo y espacio. No lo tengo en cuenta, me desintereso por una razón muy simple: porque yo, el corredor, he decidido hacer e hice el primer paso (y luego muchos otros), y eso es todo. Análogamente, logramos nadar solo si realizamos una serie de movimientos sin vigilar el millón de micro-movimientos de los que se compone cada brazada, con movimiento anexo de las piernas y muchos otros, como el movimiento de la cabeza y el de la respiración. Por lo tanto, un hecho (por ejemplo, este primer paso) puede ser contado, descripto, explicado, comentado, analizado, simulado, visto en cámara lenta, etc., pero es un hecho que tuvo lugar o no tuvo lugar, un acto complejo que fue o no fue efectuado y cuya efectuación tuvo o no tuvo éxito.

Así, el pasaje crucial está constituido por aquel señuelo (“te arriesgás a no lograr partir”) gracias al cual Zenón ha obtenido una dramatización del problema en modo aparentemente plausible, pero, si se lo mira bien, injustificado: ¿por qué debería tener en cuenta todos los detalles y entretenerme razonando, en vez de comenzar a correr sin pensar siquiera por un momento en los fragmentos de cada paso? No hay una buena razón, pero en cuanto el obstáculo mental interviene, nos desorienta y tiene el poder de bloquear nuestra mente. Entonces, ¿Zenón ha sido una suerte de prestidigitador, más precisamente, un prestidigitador de la palabra? ¡Diría que sí! No por esto la paradoja del corredor desaparece, ya que todos hemos comenzado a percatarnos de cómo funciona la subdivisión al infinito y a más de uno se le vendrán a la mente los decimales, es decir, la posibilidad de representar el fraccionamiento con los números colocados luego de la coma (3,141592653589…[7]). Pero ese es otro asunto. Es un hecho que nosotros, occidentales, hemos comenzado a tener confianza en las divisiones que pueden llevarse al infinito no a partir de los números decimales, sino de esta paradoja de Zenón de Elea.

2.8. El espacio

Concluimos este capítulo con la paradoja del espacio. Para comenzar, intentaré formularla diciendo que el espacio es una suerte de súper-caja en la cual tiene lugar cada una de las demás cajas. Pero si es la caja más grande de todas y también es una caja, entonces, así como las cajas más pequeñas entran en aquellas más grandes, del mismo modo el espacio deberá estar dentro de un espacio todavía más abarcativo, un segundo espacio, que estará, a su vez, dentro de un tercer espacio, y así sucesivamente.

Esta es una versión ultra-simplificada y banalizada, ya que en tiempos de Zenón las cajas de cartón eran tan desconocidas como las mamushkas. En cambio, la palabra usada para introducir esta paradoja, tópos (con el artículo ho tópos) es un concepto de uso corriente a partir de Platón y Aristóteles, pero innovador en tiempos de Zenón. Esto significa que esta paradoja, a la par de otras (en particular, la de la flecha), podría haber tomado a todos por sorpresa y que Zenón quizás indujo a su público a preguntarse qué puede significar “estar en el espacio” (o “en un espacio”): si el lugar no es una cosa como las demás (no es una especie de ánfora o de barco), ¿qué es exactamente? ¿Incluso el espacio deberá estar en un espacio de segundo orden, este en uno de tercer orden y este otro en uno de cuarto orden, etc.?

Se podría decir que Zenón, sin ponerse a enseñar “qué es el espacio”, se limitó a enfatizar lo extraño de la cuestión y concluyó que no está mal pensar que existe un lugar donde todo otro lugar se encuentra. Si así fuese (cosa que nosotros no podemos saber con certeza), su paradoja del espacio podría haber sido percibida como algo completamente novedoso que da a pensar: ¿por qué razón el espacio no tiene necesidad (puede prescindir) de estar en un segundo espacio o en un tercer espacio? Una respuesta a esta pregunta debe ser buscada (o, en todo caso, construida) poco a poco. Y Zenón no mueve un dedo para ayudar a elaborar la idea de un espacio que no tenga necesidad de estar en algún meta-espacio, y así al infinito.

2.9. Un montón de preguntas

Llegados a este punto, se asoma una serie de preguntas:

  • Pero entonces, ¿quién demonios era Zenón?
  • ¿A dónde quería llegar?
  • ¿Qué nos ha querido enseñar?
  • ¿Qué era lo que había que comprender?
  • ¿Cómo es posible que hasta ahora no se haya hablado de matemática, de cálculo infinitesimal o de cálculos todavía más sofisticados?

En cierto sentido, la respuesta es obvia: Zenón fue, y continúa siendo, una suerte de entrenador deportivo. Nos entrena, nos hace mentalmente más fuertes y ágiles, y lo hace comenzando por meternos en dificultades, por desorientarnos de muchas maneras (quizás estaba listo para hacerlo de cuarenta maneras distintas, si verdaderamente en su libro se encontraban cuarenta paradojas, como se cuenta). Tal vez nadie fue tan bueno como él para meternos en dificultades y dejarnos perplejos, de manera que, sin sus provocaciones, todos seríamos menos sagaces y menos creativos.

En este sentido, es la humanidad la que le debe algo a Zenón de Elea. Por otro lado, si estudiosos de primer nivel se vieron en serias dificultades debido a sus paradojas, haremos bien en no liquidarlas con una ligereza que fatalmente se parecería a la superficialidad.

Pero hay otra cosa que decir sobre él, algo que es simple, pero desde otro punto de vista desconcertante. Todo hace pensar que su libro fue concebido como una serie de dificultades (Aquiles no logra alcanzar la tortuga, la flecha se frena mientras está en vuelo, el corredor no logra siquiera partir, etc.), es decir, como una serie de problemas, o si se prefiere, obstáculos mentales, que eran presentados sin indicar una solución. El lector quedaba librado a la suerte para intentar comprender muchas, demasiadas cosas:

  • ¿Cómo es posible que Aquiles no alcance a la tortuga?
  • ¿La misma velocidad es el doble y la mitad?
  • ¿En qué consiste exactamente el problema?
  • ¿Qué sentido tiene todo esto?
  • ¿Qué aprenderíamos nosotros si aceptásemos reflexionar sobre los problemas de Zenón?

Ningún otro libro había sido concebido como una colección de desafíos a la inteligencia. Este fue el primero desde los tiempos de Adán y Eva. Se trata de un mérito que se nos muestra aún más sorprendente cuando consideramos que, en los 2.500 años que siguieron, la oferta de libros en los cuales el autor se limita a plantear problemas ha sido siempre rarísima, mínima, una de aquellas cosas que no suceden casi nunca. Zenón no solo hace de todo para no presentarse como un maestro que sabe y explica, sino que lo logra. Él no se dedica a extraer “la lección” de cada paradoja, ni siquiera afirma que, si quisiese, sabría explicarnos cómo son realmente las cosas (por ejemplo, si Aquiles es o no es capaz de alcanzar la tortuga y por qué), y esta es una enorme anomalía. En efecto, es muy raro que uno se contente con delinear un problema, una dificultad, un obstáculo mental, una obstrucción para después decir: “¡Intenten ustedes desenredar la madeja![8] Yo me limito a presentarles la dificultad”.

Todo esto hace la diferencia. ¿Algún otro se comportó como él, limitándose a plantear interrogantes sin gastar una sola palabra para indicar de qué modo se los debería resolver? Aquí está, este fue Zenón. De esto fue capaz solo él y, por lo que sabemos, ningún otro. Ningún otro, ni antes ni después.

2.10. Como mínimo, estas no son cosas que se sepan

Los libros no dicen nada de esto y yo querría saber por qué. Hasta ahora, todo aquel que escribió un libro o un capítulo sobre paradojas zenonianas se limitó a detenerse en modo individual sobre las historias sin preguntarse nada más, casi sofocando la curiosidad ulterior. No obstante, la lista de las innovaciones zenonianas continúa. Hasta ahora, en efecto, todavía no dijimos nada sobre otra imponente innovación suya, una innovación de largo alcance. No escribió un tratado típico, si bien ha titulado su obra algo ambiguamente como Perì phýseos (Sobre la naturaleza), como Parménides y como otros tantos antes que él. No ofreció una serie de enseñanzas y explicaciones –mucho menos la supuesta llave secreta de alguna paradoja–, sino que encontró el modo de poner a su audiencia en condiciones de reflexionar, pensar y, por lo tanto, intentar dar repuestas.

Para explicarme invito a mi gentil lector, mi gentil lectora, a imaginarse qué cosa podría haber sucedido cuando Zenón, o cualquier otro, leía en público su libro. Sabemos que la presentación de cada paradoja tiene la apariencia de haber sido breve, relativamente veloz, para poder ser profundizada luego. Digamos, unas cien palabras. ¿Qué habría sucedido luego de la presentación de cada paradoja? ¿Zenón las leería o las habría hecho leer todas de corrido? Esto me parece simplemente imposible. Después de cada paradoja, era lógico que hubiera una pausa para dar tiempo al auditorio de meditar un poco y para que el autor pudiera amplificar la sensación de desconcierto, por ejemplo, contribuyendo con un poco de mímica facial. ¿Y por qué no pensar que alguien del público podría haber intentado decir algo, por ejemplo, espetar un: “esto no, esto es imposible”? Al respecto, nosotros no sabemos nada de nada, pero se admitirá que la verosimilitud habla esta lengua. La situación sugiere que el público podría haber improvisado cualquier comentario. En tal caso, ¿Zenón los habría callado? ¿No habría replicado, alentando también a los demás a decir algo?

Si hubiese sucedido algo por el estilo –y repito que, al menos en mi opinión, todo esto es muy verosímil–, el libro de Zenón habría implicado una innovación espectacular. El suyo se habría convertido en un libro alrededor del cual se podía armar algún diálogo, tomar la palabra, improvisar, iniciar un intercambio con el autor. Fantástico, diría yo. Basta pensar que los poetas cantaban acompañándose de un instrumento musical y que el público se limitaba a escuchar; que los libros, por lo general, se leían y nada más; o que los espectáculos teatrales tenían lugar delante de una audiencia que estaba callada y quizás después comentaba la obra en privado. Con el libro de Zenón, y solo con este, maduraron las condiciones para poner en marcha un embrión de diálogo público. De seguro, se debió tratar de condiciones estrictamente ligadas a la fisonomía de este libro, algo fuera de lo común para lo cual nadie estaba preparado.

Alguno, alguna, dudará de estas conjeturas, pero observo que las paradojas, por decir algo sobre cómo habría tenido sentido organizar la interacción con el público, han sido concebidas para ser habladas, para ser discutidas. Si bien sobre el libro de Zenón sabemos en verdad poquísimo, sabemos que él presentaba unas decenas de afirmaciones o preguntas desorientadoras a partir de datos de la observación completamente elementales. Vuelvo sobre algunos ejemplos:

  • ¿Ven a quién persigue Aquiles? Pues bien, ¡no tendrá éxito!
  • ¿Ven la flecha en vuelo? Pues bien, ¡esta solo puede estar quieta!
  • ¿Ven al corredor que parte? Pues bien, ¡sepan que no logrará partir!

Mientras trabajaba para postular varios obstáculos mentales, era muy verosímil que Zenón se detuviera un momento en cada caso; también porque el pasaje a otra paradoja requería representarse una situación completamente distinta. Es verosímil también que otorgara un poco de tiempo para reflexionar y tener en cuenta la opinión de quien hubiese intentado decir algo. Es muy difícil que las cosas no hayan sido así. Y también es evidente que otras obras no tuvieron estas características. Ni siquiera ahora, de hecho. En efecto, en pleno siglo XXI, (sin considerar tratados, monografías y novelas) muy, muy raramente se escriben libros con características similares.

Hay además un segundo indicio: el texto que delinea una conversación ordenada y bien definida entre Zenón y Protágoras.[9] Quien la refiere, Simplicio, escribió no cientos, sino miles de páginas sin jamás referir a otros textos dialógicos. Por lo tanto, estamos seguros de que este diálogo lo leyó en otro libro. ¿Qué libro? No tenemos idea, pero una cosa es segura: que la historia del grano de mijo tiene un inequívoco sabor zenoniano. Solo Zenón habría podido inventarla.

Todo esto conlleva una complicación –o, si se prefiere, un imprevisto– ulterior: en este modo suyo de sorprender al público, parece que Zenón se anticipa a Sócrates y concibe la idea de una primera modalidad de diálogo con su público y de invitación al diálogo. Esto no es poco, pero debo todavía agregar que, en general, la comunicación oral en un único sentido, unilateral, se encuentra expuesta al riesgo de no funcionar bien, no solo porque la atención tiende notoriamente a disminuir, sino también porque por norma el discurso que es continuo y sin interrupciones contrasta con el deseo de detenerse a reflexionar, si bien no necesariamente impide la reflexión. Por lo tanto, si Zenón hubiese previsto algunas pausas, e incluso la posibilidad de tomar la palabra durante las pausas entre una paradoja y la otra (cuestión bastante verosímil), la innovación habría sido muy sustancial.

Preguntémonos ahora qué lógica podría estar detrás de tan elaborado aparato de desafíos intelectuales, de complicaciones gratuitas, de pensamientos errantes. ¿Qué se proponía Zenón? Probablemente haya una respuesta. Consideremos por un momento aquello que Zenón podría enseñar. No es poco, todo lo contrario. Además de las paradojas, él saca una cantidad de nociones nuevas, o nuevísimas, como la diezmilésima parte (tò myriostón), las particiones, el último y el primer micro-avance, el espesor (pákhos), el instante (tò nŷn), la grandeza cero y la grandeza infinito, la noción misma de “espacio” que en su tiempo no era tan familiar como la de “tiempo”, una idea de velocidad relativa, la repetición al infinito de los procesos más diversos. Una vez introducidos estos términos innovadores, ¿procedía a enseñar? ¿Ofrecía explicaciones? Por lo que sabemos, ¡ni siquiera una sola vez! Tampoco explicaba cómo se podía hacer para lograr salir de las paradojas más insidiosas. Él no explicaba nada, no enseñaba nada, simplemente confiaba en que los demás lograsen resolverlas por sí mismos, reflexionando. ¿No es una maravilla llegar a comprender que de todo esto fue capaz Zenón un poco menos de quinientos años antes de Cristo?


  1. Existe otro Zenón que es bastante conocido como fundador del estoicismo. Este Zenón, nativo de Citio (hoy Lárnaca, Chipre), vivió entre el 335 y el 263 a.C. Después de formarse como estudiante de Polemón, quien devino escolarca –director de la Academia de Atenas–, abrió, alrededor del año 300 a.C., una escuela que asumió rápidamente el nombre de “Stoa” (Pórtico).
  2. Ver infra capítulo 3, sección 3.10.
  3. “Fanega” traduce el término médimnos que era equivalente a unos cincuenta litros, por lo tanto a un saco (o bolsa) de trigo. En Atenas, los más ricos fueron llamados por Solón pentacosiomédimnos, es decir, capaces de producir 500 sacos de trigo de un médimnos cada uno (aproximadamente, unas veintiséis toneladas). En cambio, la diezmilésima parte (en griego, tò myriostón) constituía el tamaño más pequeño concebible. No se excluye que la noción de myriostón haya sido puesta en circulación por Zenón.
  4. Hemos optado por traducir del italiano con el objetivo de respetar las modificaciones introducidas por el autor. [N. de T].
  5. En efecto, el grano de mijo pesa, si estoy bien informado, alrededor de seis miligramos. Por lo tanto, proponerse subdividir un objeto tan diminuto en 10.000 partes es realmente un gran desafío.
  6. Subdividir cortando cada vez en dos. En griego, “cortar en dos partes” se dice dikhotomeîn. De este verbo deriva la palabra “dicotomía”.
  7. Es el famoso número pi al cual, con la ayuda de la computadora, se le han determinado millones de decimales.
  8. Es oportuno recordar en esta ocasión que la noción de “nudo gordiano” tomó forma con referencia a Alejandro Magno, mucho tiempo después que Zenón.
  9. Ver supra capítulo 2, sección 2.5.


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