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Las paradojas de Zenón

Señalamos que Borges hace suya la observación de Coleridge en cuanto a que “los hombres nacen aristotélicos o platónicos”. De algún modo esa sería la primera bifurcación que aparece en el sendero de la filosofía. Uno de los platónicos anteriores a Platón ha sido Parménides. De su escuela, la eléata, Borges toma una de las piedras basales de su filosofía: las paradojas de Zenón contra el movimiento[1].

El primer ensayo que le dedica en Discusión al tema se concentra en la segunda paradoja de Zenón contra el movimiento, a la cual presenta como una “perpetua carrera” entre Aquiles y la tortuga. Desde este punto de vista, podría entenderse que aquello que se perpetúa es el intento de Aquiles por alcanzar a la morosa tortuga. La carrera sería perpetua porque no termina nunca: Aquiles no deja nunca de acercarse a la tortuga, y nunca llega a alcanzarla. Sin duda también lo es porque se repite continuamente en otros innumerables pares: entre cada sujeto que desea y su objeto deseado, entre cada hombre y su propia sombra… Borges brindaría, en ese sentido, constantes ejemplos de esa secular carrera en su producción narrativa.

También es cierto que si nos concentramos estrictamente en la paradoja, tal vez la carrera no es perpetua ni es carrera, ya que ni siquiera llega a empezar. En ese sentido, será útil recurrir a la primera paradoja de Zenón, la de la “dicotomía”, según la cual un móvil para llegar a su término debe llegar antes a la mitad del recorrido, y antes a la mitad de la mitad, y así infinitamente, de modo que el móvil finalmente nunca arranca.

Pero Borges comienza por la versión más dinámica de las paradojas contra el movimiento. Si bien “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga” se inicia expresando la hipótesis zenoniana en un sentido fuerte como “El movimiento no existe”, y calificando al maestro inspirador de la misma, Parménides, como un “negador de que pudiera suceder algo en el universo”, la exposición de la segunda paradoja (en ambos ensayos) es vertiginosa:

“Aquiles, símbolo de rapidez, tiene que alcanzar la tortuga, símbolo de morosidad. Aquiles corre diez veces más ligero que la tortuga y le da diez metros de ventaja. Aquiles corre esos diez metros, la tortuga corre uno; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un decímetro; Aquiles corre ese decíme­tro, la tortuga corre un centímetro; Aquiles corre ese centímetro, la tortuga un milímetro; Aquiles el milímetro, la tortuga un décimo de milímetro, y así infinita­mente, de modo que Aquiles puede correr para siempre sin alcanzarla.”

 

Tras esa presentación, considera tres posibles refutaciones, o “voluntades de refutación”:

i) La primera la ve como “un ejemplo de la falacia de confusión”. Lo que se confunde es el significado de la expresión “para siempre”, la cual (señala J. S. Mill en su Sistema de lógica) en las premisas se refiere a un número infinito de subdivisiones de tiempo (y de espacio), y en la conclusión a una cantidad infinita de tiempo.

Borges objeta que Mill no refuta la paradoja sino que la reexpone: si Aquiles corre a una velocidad de 1 metro por segundo, necesitará 10 segundos para cubrir los 10 metros de ventaja inicial, más 1 segundo para el metro que la tortuga recorrió en aquellos 10 segundos, más 1/10 de segundo para el decímetro que la tortuga recorrió en el segundo en que Aquiles recuperó el metro que la tortuga recorrió en sus 10 segundos iniciales, más 1/100 de segundo para el centímetro que la tortuga recorrió en el décimo de segundo en que Aquiles recuperó el decímetro que la tortuga recorrió en aquel segundo 11 de su seguro trayecto a la victoria… 

Finalmente, “el trayecto del héroe será infinito y éste correrá para siempre, pero su derrotero se extenuará antes de doce metros, y su eternidad no verá la terminación de doce segundos.”

ii) Bergson (en su Ensayo sobre los datos inmediatos de la conciencia) también ve una confusión. Esta vez entre la acción de moverse y el espacio que atraviesa ese movimiento. El movimiento es un acto simple e indivisible que ocurre en un tiempo no espacializado: la duración. En cambio, la distancia espacial que un móvil recorre sí es numéricamente divisible: hasta el infinito. Pero Borges no concuerda con la incompatibilidad entre tiempo y espacio que sustenta esa proyectada refutación. Incluso, como veremos, más de una vez utiliza el argumento de Zenón aplicado a la subdivisión del tiempo.

iii) Por último, Russell da una solución matemática (“la única condigna” del problema) al observar que “la opera­ción de contar es (intrínsecamente) la de equiparar dos series”. Cuando la cantidad de elementos a contar es infinita, descubrimos que, contra el principio lógico aristotélico que reza que el todo es mayor que la suma de sus partes, ahora la parte puede equivaler al todo. Por ejemplo, hay tantos números enteros como números enteros positivos, o, para cualquier lapso de tiempo que se considere, Aquiles ha recorrido tantos puntos del espacio como la tortuga.

William James objeta que el razonamiento de Russell considera la carrera como ya corrida, reduciendo así el problema al de “equilibrar los trayectos”. Por otro lado, retrotrae a la versión más “estática” de la paradoja, al observar que no hacen falta dos corredores, sino que alcanza con uno solo, o con el mero transcurrir de un lapso de tiempo, para caer en el drama de intentar “alcanzar una meta cuando un previo intervalo sigue presentándose vuelta a vuelta y obstruyendo el camino”.

 

Así llegamos a la primera paradoja zenoniana, la de la dicotomía, que nos deja ver con más claridad la cara del verdadero enemigo, del “concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros”: el infinito[2]. En “Avatares de la tortuga” Borges la rescata así:

“El movimiento es imposible (arguye Zenón) pues el móvil debe atravesar el medio para llegar al fin, y antes el medio del medio, y antes el medio del medio del medio, y antes…”.

Esta formulación ya al propio Aristóteles le evoca el argumento del tercer hombre contra la teoría platónica de las Ideas, según el cual dado un individuo sensible y temporal, y su Arquetipo inteligible y eterno, debe considerarse una tercera entidad que abarque a ambos, y luego una cuarta que abarque a las tres anteriores, y así infinitamente. De este modo, el platonismo carga con el germen de su autodestrucción un siglo antes que Platón enseñe en Atenas[3].

Tras pasar revista a diversos avatares de este argumento (toda prueba requiere una prueba, toda definición una definición ulterior -y una definición de la misma voz “definición”-, toda explicación una explicación, toda causa una causa previa, todo conocimiento es reconocimiento), Borges concluye que el “regressus in infinitum es acaso aplicable a todos los temas”[4].

Por ejemplo, al análisis de la novela de Flau­bert Bouvard et Pécuchet, o al universo: “[…] el universo es incognoscible, por la suficiente y clara razón de que explicar un hecho es re­ferirlo a otro más general y de que ese proceso no tiene fin” (y si lo tiene, “nos conduce a una verdad ya tan general que no podemos referirla a otra alguna; es decir, explicarla”)[5].

También entre los avatares de las premisas de la tesis de John William Dunne sobre el tiempo (“El tiempo y J. W. Dunne”) registra la doctrina hindú, compartida por Schopenhauer, acerca de que el autoconocimiento requeriría un alma segunda que conozca la primera, y una tercera para la segunda, etc. Dunne asigna un distinto tiempo para cada nuevo sujeto y concluye que “el tiempo verdadero es el inalcanzable término último de una serie infinita”.

También es aplicable, y aplicado, al raro problema de la compatibilización entre i) la creación divina del mundo según el Génesis y ii) la existencia de huesos enterrados anteriores a la nada que el relato bíblico supone. La rara solución del zoólogo Philip Henry Gosse que atrae a Borges en “La creación y P. H. Goose”, reúne i) el principio racional que a cada efecto asigna una causa regresiva e infinitamente, así como a cada instante de tiempo uno anterior, con ii) el fiat divino.

Creemos que la olvidada y monstruosa tesis de Goose también reúne, o acerca, al Borges platónico con el aristotélico. El implacable vindicador de la infinita cadena causal encuentra un resquicio por donde traficar la acción (de Dios en este caso). La sucesión permanente de causas y efectos está dada desde siempre y para siempre, en forma lógica, potencial. La acción creativa de Dios consiste en develarla, iluminarla, “activarla”. Por eso “surge” Adán a los treinta y tres años, con un ostentoso ombligo “aunque ningún cordón umbilical lo ha atado a una ma­dre”.

Aunque, en otro sentido, este texto expone también esa desidia borgeana ante el convencimiento de que todas las cosas ya son. O sea, la cadena causal de los hechos puede prescindir de su puesta en acto. Dios crea a Adán ya con treinta y tres años, pero la idea de Adán en el vientre de su madre ya existe, y la idea de sus abuelos…

Al final, Borges destaca una virtud en la tesis de Gosse: “la involuntaria reducción al absurdo de una creatio ex nihilo, demostración indirecta de que el universo es eterno (como pensaron el Vedanta y Heráclito, Spinoza y los atomistas…)”[6].

 

Situados entre Discusión y Otras inquisiciones, los ensayos de Historia de la eternidad [7] contienen argumentos análogos a los presentados, pero en relación al problema del tiempo, la eternidad y el eterno retorno.

En “Historia de la eternidad” I las eleáticas postergaciones se aplican contra la fluencia del tiempo:

“Es imposible que en ochocientos años de tiempo transcurra un plazo de catorce minutos, porque antes es obligatorio que hayan pasado siete, y antes de siete, tres minutos y medio, y antes de tres y medio, un minuto y tres cuartos, y así infinitamente, de manera que los catorce minutos nunca se cumplen.”[8]

Aquí Borges vuelve a recordar la refutación de Russell, que apela a “la realidad y aun vulgaridad de números infinitos”, pero acentúa “que se dan de una vez, por defini­ción, no como término final de un proceso enumerativo sin fin”. Al aplicarla al uso original zenoniano, destinado a refutar el movimiento en el espacio, el reconocimiento de la solución del filósofo inglés estaba unido al reparo de que suponía la carrera como ya corrida, cuando en verdad, creemos, el drama es que la carrera nunca empieza[9]. En cambio al aplicarla al intento de refutar el tiempo, destaca que “esos guarismos anormales de Russell son un buen anticipo de la eternidad, que tampoco se deja definir por enumeración de sus partes.”

Ahora, esa eternidad no es circular. En “La doctrina de los ciclos” I, opone el argumento de Russell contra Zenón al argumento del eterno retorno que supone un universo formado por un número finito de elementos (átomos, fuerzas, etc.) que, por lo tanto, es capaz de componerse en un “número finito (aunque desme­surado) de permutaciones”. Confrontadas con un tiempo infinito, “el número de las permutaciones posibles debe ser alcanzado, y el universo tiene que repetirse.” Russell y Cantor disuelven el problema cuando afirman la infinitud de los elementos primitivos del universo, aunque estos se deslizan de átomos materiales a puntos fantasmales cautelosamente transformados en términos en la conclusión:

“Si el universo consta de un número infinito de términos, es rigurosamente capaz de un número infinito de combinaciones -y la necesidad de un Regreso queda vencida. Queda su mera posibilidad, computable en cero.”


  1. Observa Borges en el “Prólogo” a La rosa profunda (Emecé, Buenos Aires, 1975), y también en “Flaubert y su destino ejemplar” (D), que “La doctrina romántica de una Musa que inspira a los poetas fue lo que profesaron los clásicos; la doctrina clá­sica del poema como una operación de la inteligencia fue enunciada por un romántico, Poe, hacía 1846. El hecho es paradójico.” Así también parece ser el hecho de que la tesis heraclítea extrema haya sido trasmitida por Platón y las no menos extremas aporías zenonianas por Aristóteles, en Física VI 9 (“Falacias de la indivisibilidad. Refutación de Zenón.”)
  2. Apuntamos dos prevenciones acerca de la palabra “infinito” en los ensayos de Discusión:“[…] infinito, palabra (y después concepto) de zozobra que hemos engendrado con temeridad y que una vez consentida en un pensamiento, estalla y lo mata. (Hay otros escarmientos antiguos contra el comercio de tan alevosa palabra: hay la leyenda china del cetro de los reyes de Liang, que era disminuido en una mitad por cada nuevo rey; el cetro, mutilado por dinastías, persiste aún.)” (“La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”)“Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del Mal, cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito. Yo anhelé compilar alguna vez su móvil historia. La numerosa Hidra (monstruo palustre que viene a ser una prefiguración o un emblema de las progresiones geométricas) daría conveniente horror a su pórtico; la coronarían las sórdidas pesadillas de Kafka y sus capítulos centrales no desconocerían las conjeturas de ese remoto cardenal alemán -Nicolás de Krebs, Nicolás de Cusa- que en la circunferencia vio un polígono de un número infinito de ángulos y dejó escrito que una línea infinita sería una recta, sería un triángulo, sería un círculo y sería una esfera (De docta ignorantia I 13)” (“Avatares de la tortuga”).
  3. “Nota sobre Walt Whitman” (D): “Tanto difieren la razón y la convicción que las más graves objeciones a cualquier doctrina filosófica suelen preexistir en la obra que la proclama. Platón, en el Parménides, anticipa el argumento del tercer hombre que le opondrá Aristóteles.”
  4. Apuntamos otras dos tempranas prevenciones acerca de la palabra “infinito”, esta vez en los exonerados ensayos de juventud:“Estoy seguro que voces como inmortal o infinito no fueron en su comienzo sino casualidades del idioma, abusos del prefijo negativo […]. Tanto las hemos meditado y enriquecido de conjeturas que ayer necesitamos de una teología para dilucidar la primera y aún nuestros matemáticos disputan acerca de la segunda.” “Acerca de Unamuno, poeta”, en BORGES, Jorge L., Inquisiciones (1925), Alianza, Madrid, 1998 (en adelante, I).“Sospecho que la palabra infinito fue alguna vez una insípida equivalencia de inacabado; ahora es una de las perfecciones de Dios en la teología y un discutidero en la metafísica y un énfasis popularizado en las letras y una finísima concepción renovada en las matemáticas […] y una verdadera intuición al mirar al cielo.” “El idioma de los argentinos”, en BORGES, Jorge L., El idioma de los argentinos (1928), Alianza, Madrid, 1998.
  5. Vindicación de Bouvard et Pécuchet” (D).
  6. “El tiempo y J. W. Dunne” y “La creación y P. H. Goose” (ambos en OI).
  7. BORGES, Jorge L., Historia de la eternidad, Alianza, Madrid, 1998 (en adelante, HE).
  8. Es la quinta forma que adquiere el argumento de Zenón en “Avatares de la tortuga”.
  9.  En “La doctrina de los ciclos” (HE) Borges propone “no concebir tamaños decrecientes” dado que “cada punto ya es el final de una infinita subdivisión” (por ejemplo, decimos, el punto de largada de la carrera).


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