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32 Geometría

Malena Mazzitelli Mastricchio y Graciela Favelukes

Según el diccionario de la Real Academia Española, la geometría es el estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio. Esa definición, no obstante, soslaya el contenido histórico y la riqueza que esconde este término. Es sabido que la palabra geometría es de origen antiguo. Entre los griegos significaba medida de la tierra agrícola y sagrada. Reunía tradiciones y prácticas que recibieron su primera formulación teórica y sistemática en el Tratado de elementos de geometría de Euclides hacia el 300 a.C. Allí se definieron las bases de una disciplina de facetas múltiples y de larga historia. Con el tiempo designó a un amplio conjunto de saberes y de prácticas que está presente en numerosas culturas.

El término geometría designa actualmente una amplitud de variantes (geometrías no euclidianas, fractales, teorías de cuerdas), pero ciertamente tiene una larga historia y profundas implicancias culturales e intelectuales. Desde una perspectiva más filosófica que histórica, Serres (1996) establece una distinción entre geometría y geografía. A la geografía la ve nacer en esa práctica que utilizó Eratóstenes para medir la circunferencia de la tierra. La geometría, en cambio, se le aparece como una forma de pensamiento que no tiene historia ni trayectoria. Se trata, para dicho autor, de una disciplina puramente abstracta, que refiere solo a sus propios componentes.

Existen, además, otras geometrías, en el tiempo y en el mundo: geometrías sagradas, geometrías prácticas, geometrías, en fin, que se vuelven efectivamente geografías a través de procesos de medición sobre el terreno. Medir la superficie de la tierra (terreno) y establecer límites requiere el uso de una geometría práctica que contribuye a hacer efectivas una multitud de apropiaciones territoriales (desde la parcela hasta la nación). 

Los principios y métodos de la geometría son insumos decisivos para la definición de los límites territoriales modernos, que son construcciones sociales más o menos contingentes establecidas por acuerdos políticos entre entidades soberanas, algunos más duraderos que otros. En esa construcción inestable la geometría desempeña, sobre todo, dos roles: uno en el terreno y otro en el papel. En el terreno, es parte fundamental de la topografía (disciplina que estudia los medios para representar la superficie de la tierra, considerándola como un plano) y la geodesia (que estudia, calcula y teoriza sobre la forma de la tierra o geoide). Así, se puede establecer el recorrido específico de la línea limítrofe que se acuerda en las negociaciones, y se señala en el terreno a partir de mediciones de coordenadas, altitudes y triangulaciones. En el papel, la geometría forma parte del trazado de las líneas de límites en los mapas.

A lo largo de estas páginas se revisarán algunas formas en que la geometría se volvió una herramienta de los estados modernos en América Latina para delimitar desde las parcelas privadas hasta la determinación de sus fronteras internacionales. Los contenidos del capítulo se organizarán en cuatro secciones: la primera sobre geometría, saberes y oficinas donde veremos la formación de la geometría como práctica profesional en los saberes del territorio. La segunda sobre geometría, técnica y territorio, donde presentamos algunos procedimientos de medición de límites cuyas marcas luego desapareen del terreno, es decir la geometría como práctica auxiliar de la demarcación. En la tercera -dibujar la política- revisamos algunas modalidades en el uso de la geometría como herramientas utilizada por los estados modernos para definir sus fronteras y así demarcar los territorios; finalmente en muros sólidos, geometrías virtuales señalamos la vigencia de los vínculos entre nuevas formas de operar geométricamente, en especial desde los sistemas informáticos, y nuevas modalidades de gestión de los territorios de frontera.

Geometría, saberes y oficinas

La definición y constitución de los estados modernos requirió de la organización de tareas y la creación de reparticiones de carácter jurídico, político y administrativo, junto a otros de índole específicamente técnica como el caso de los primeros ingenieros militares y civiles encargados, entre otras cosas, de la delimitación de las fronteras. 

Excepto escasos antecedentes, los ingenieros militares con conocimientos de geometría llegaron a la región del Plata a mediados del setecientos para participar en las tareas de demarcación de límites entre los territorios de Portugal y España. Esos oficiales del rey de España se educaban en academias cuyo modelo era la Real Academia Militar de Matemáticas de Barcelona establecida en 1720 (Capel, 2003). Más tarde, a partir de las independencias, comenzaron a llegar a Buenos Aires (Argentina) contratados por las autoridades revolucionarias, ingenieros que habían apoyado las ideas napoleónicas. Eran de origen español, como Felipe Senillosa (1790-1858); de origen italiano, como Carlo Zucchi (1789-1849) y Carlos Enrique Pellegrini (1800-1875); o francés, como Pedro Benoit (1836-1897). Estos ingenieros fueron los responsables del armado de los primeros departamentos técnicos durante las etapas iniciales del proceso de formación estatal, como el Departamento Topográfico de la Provincia de Buenos Aires en la década de 1820 (Aliata, 2006). 

En paralelo, las academias militares fundadas con posterioridad a la ruptura de los lazos coloniales establecieron los estudios necesarios para la formación de los oficiales que incluían una especialización en geometría. En los programas de estudios, las materias más destacadas eran la geometría plana y la geometría práctica orientada al dibujo militar; así como la aritmética y la trigonometría rectilínea aplicada a temas de agrimensura.

Durante la segunda mitad del siglo XIX las instituciones educativas se concentraron en el Colegio Militar creado en 1869. Más tarde, el estado argentino creó en 1885 la escuela de Ingenieros Militares. La formación de los aspirantes a oficiales de Ingenieros consistía en cursos de Trigonometría Rectilínea y Esférica; Álgebra Superior; Dibujo Lineal y Topográfico, Caminos y Ferrocarriles, Geometría Analítica, Geodesia I, Dibujo, Puentes, Fortificación Pasajera, Cálculo Diferencial e Integral, Fortificación Permanente, Geodesia II y Astronomía. La formación se completaba en la Universidad de Buenos Aires reorganizada en esos años, donde los estudiantes tomaban las asignaturas Geometría Descriptiva I y II que formaban parte de los estudios de ingeniería y agrimensura, impulsados desde 1865 con la formación del Departamento de Ciencias Exactas.

Existieron otras oficinas militares como la Mesa de Ingenieros (1865-1879); la Oficina Topográfica Militar (1879-1885); la IV Sección de Ingenieros Militares: Topografía y Cartografía (1885-1895); la 1° División Técnica (1895-1905), dedicadas a la elaboración de cartografía militar y la demarcación de la frontera con el indígena (Lois y Mazzitelli Mastricchio, 2009). En 1904 se creó el Instituto Geográfico Militar que se terminó por consolidar como la única institución autorizada para el relevamiento topográfico y geodésico del país y para la confección de mapas oficiales (Lois, 2004; Mazzitelli Mastricchio, 2017).

Si bien es cierto que los orígenes de muchas cartografías nacionales estuvieron estrechamente ligados a las instituciones militares, es asimismo cierto que los saberes y principios geométricos estuvieron en el corazón de las numerosas tradiciones, oficios y profesiones del territorio –como los agrimensores, los maestros de obras, los ingenieros hidráulicos y los constructores de puentes y caminos- y de muchas instituciones civiles científicas y educativas, que se combinaron y colaboraron de diversas maneras en los diversos países latinoamericanos. 

Se pueden mencionar, sin ánimo de exhaustividad, en Colombia la Oficina de Longitudes y Fronteras (1902-1935) que dependía del Ministerio de Relaciones Exteriores (Picón Rodríguez, 2018); la Comisión Geográfica de Minas Gerais en Brasil (Andrade Gomes, 2015), o el Instituto Geográfico Militar de Chile. Estas instituciones, con sus particularidades y diferencias, supieron llevar a cabo diversos proyectos cartográficos de largo aliento.

En Colombia, por ejemplo, la Oficina de Límites y Fronteras tenía por objetivo determinar la posición astronómica de ciudades colombianas respecto del meridiano de Bogotá y el levantamiento de cartas generales del país (Picón Rodríguez, 2018). Por su parte, la Oficina de Minas Gerais se encargó del levantamiento topográfico sistemático del estado. 

El Servicio Geográfico Militar chileno desde sus orígenes hasta la actualidad sigue al frente de la cartografía de su territorio. Lo mismo ocurre con su par argentino, que salió de la órbita militar en el año 2009 y pasó a denominarse Instituto Geográfico Nacional, aunque depende todavía del Ministerio de Defensa. Esta nueva institución civil participa de la demarcación cartográfica de los límites interprovinciales, en tanto el trazado de los límites internacionales en el marco de una interpretación de la legislación y los tratados vigentes está a cargo de la Comisión Nacional de Límites (CONALI). 

Geometría, técnica y territorio

La relación entre la geometría teórica y el terreno se vuelve concreta a partir de los trabajos topográficos y cartográficos, que durante el siglo XVIII se llamaban “trabajos geométricos” (Lafuente y Delgado, 1984). Los métodos topográficos permiten hacer conmensurable el terreno y, en particular, establecer la frontera como una línea de puntos sobre el papel y mediante mojones sobre la tierra. 

Entre los métodos de relevamiento topográfico se destacan el poligonal y la triangulación. La técnica de la poligonal (abierta o cerrada) consiste en medir una línea unida por vértices a los que se llama estaciones poligonales (cuyos ángulos por definición suman 360º). Este método utilizaba la medición de los ángulos que se forman entre los rumbos de los lados unidos por las estaciones y la distancia entre vértices y vértice. La triangulación, en cambio, se realiza en base a figuras triangulares. En primer lugar, a partir de un punto de ubicación astronómica (o no) conocida se forma un triángulo llamado base, luego se van midiendo lados y bases formando triángulos encadenados y vinculados al anterior, utilizando la trigonometría para el cálculo. Estos métodos eran aplicados para cualquier tipo de medición sobre el terreno, incluido el trazado de límites.

En el cono sur, las comisiones mixtas encargadas de la definición de los límites entre países vecinos realizaban sus tareas en tres etapas. La primera consistía en la consulta de documentos y lectura de los tratados firmados por los gobiernos. La segunda etapa era la salida al campo de la comisión auxiliar, encargada de informar el tipo de terreno y de realizar mapas expeditivos con métodos menos precisos. También debían instalar mojones sobre los cuales se trabajaría más tarde. Finalmente, salía al terreno la comisión mixta formada por peritos de ambos países (Mazzitelli Mastricchio, 2009).

Esas tareas de medición para la fijación de límites en el terreno, aunque laboriosas y cruciales, dejan pocas huellas visibles, de hecho, son completamente efímeras. En efecto, los hitos que suelen señalar puntos de límite en las fronteras internacionales (Figura 2) e interprovinciales (Benedetti y Salizzi, 2014) no coinciden con los mojones de la triangulación que contribuyeron a trazar la línea en el terreno, que se remueven al finalizar el levantamiento. El mapa de triangulación de la frontera donde se muestran los triángulos y los puntos de la medición es para el uso exclusivo de los equipos técnicos, y no existen marcas físicas que permitan identificar su trazado. Por su parte, los hitos que se observan en la figura son objetos materiales que se ubican en el terreno indicando puntos de la línea limítrofe. La parte superior de la figura, por tanto, visibiliza en el papel parte de los procedimientos de delimitación y demarcación, en tanto la inferior muestra los elementos que permiten visualizar el límite en el lugar. La relación entre ambos permanece invisible.

En el terreno, una vez finalizado el trabajo, solo queda el hito indicador del límite, cuyas coordenadas quedan asentadas en el mapa, que tampoco contiene los rastros de su proceso de elaboración. En efecto, así como se eliminan las marcas utilizadas en el proceso para establecer la frontera en el terreno, las versiones finales y oficiales de los mapas políticos prescinden de los procedimientos geométricos y gráficos que llevaron al trazado de la línea limítrofe sobre el papel. Es interesante reflexionar sobre la condición efímera y apenas instrumental de las mediciones en el terreno y en el papel, que se materializan solo mientras el topógrafo mide el lado del triángulo mediante la regla y las mirillas, o en los trazos que éste registra en sus libretas de campo y mapas de campaña. Los mojones de trabajo, y la red de triángulos se vuelven luego invisibles; apenas queda en el mapa el punto que indica alguna de las estaciones que guiaron la medición. 

Figura 1
Mojones y Triangulación

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Mojones y Triangulación general desde Río Gallegos a Río Rubén 5te subcomisión de Límite. Marzo y abril 1897. (La Frontera Argentino Chilena 1908, p. 147).

La geometría en la toma de decisiones limítrofes

Definir y dibujar el límite internacional en los mapas ha sido, también, motivo de discusión política y académica. Ponerse de acuerdo en cómo realizar el trazado sobre el papel fue (y es) una convención que requirió de varias Conferencias Geográficas Internacionales como la que se celebró en Londres en 1909 o en Roma en 1913. Estas convenciones comenzaron a definirse en torno al plan cartográfico conocido como Mapa Millonésimo Mundial (MMM). Los estados intervinientes en este proyecto, que pretendía cartografiar la tierra en su totalidad con mapas a escala 1:1.000.000, acordaron cómo debían ser dibujadas las fronteras. 

En un principio, los códigos y convenciones gráficas acordadas para representar las fronteras fueron pensadas solo para América Latina, pero luego fueron adoptadas por las naciones europeas. Los estados limítrofes que mantenían disputas territoriales debían utilizar un signo diferente para indicar aquellas fronteras que tenían un carácter definitivo o aquellas que se encontraban en litigio. En ese caso, por ejemplo, la clásica línea de punto y raya podía presentarse en dos colores diferentes, o con una línea de raya y dos puntos. Para reforzar la claridad de la información, se estableció que, al lado del signo, debía figurar el nombre del estado que proponía dicho recorrido fronterizo. Una vez solucionado el conflicto, los estados intervinientes debían informar a la Comisión Central, quien debía trazar nuevamente los límites sobre los mapas, que serían controlados luego por los países involucrados. 

Los dibujos de las líneas de límite muestran la discusión política, el avance y retroceso de la frontera. Es allí donde la geometría del terreno se vuelve móvil y una lectura de mapas sucesivos hace visible la dinámica implícita en la apropiación que los estados hacen del espacio. La artificialidad de los límites, especialmente de su realidad dibujada en los mapas, estuvo en el centro de las críticas políticas y filosóficas al nacionalismo territorial moderno. Pero si por una parte los estudios de la frontera marcan el dinamismo de esas zonas que son de exclusión y a la vez de contacto, por otra parte, estudiar los procedimientos de las trabajosas demarcaciones da cuenta de procesos y saberes complejos, mediados y situados, cuyas trazas se desvanecen en el terreno, pero se reencuentran en el papel y en los cálculos. A su vez, la línea del mapa convierte a los espacios indeterminados en territorios nacionales, y a sus habitantes en ciudadanos dotados a veces de derechos muy disímiles. 

Muros sólidos, geometrías virtuales

La geometría formó parte de los procesos para trazar y dibujar las pretensiones políticas de los estados modernos, para materializar y ubicar los hitos de sus fronteras. Y cuando las líneas, los mojones y los controles se vuelven insuficientes para ordenar los intercambios y especialmente las migraciones en estos últimos años, la geometría vuelve a integrar la batería de las medidas que los estados adoptan para fortificar sus fronteras, que imaginan mediante grandes proyectos de muros inexpugnables presentados mediante seductoras imágenes digitales, que los mapeos críticos denuncian e impugnan visualmente. La empresa no es nueva, y sus antecedentes son ilustres, desde la muralla de Adriano en Gran Bretaña durante la etapa imperial del dominio de Roma, o la muralla china.

Al mismo tiempo que recrudecen esos sueños de fronteras materializadas con grandes muros, las nuevas tecnologías transforman los desplazamientos de los equipos topográficos por el terreno, cuyas posiciones se vuelven cada vez más etéreas. Aunque los principios geométricos y trigonométricos de la triangulación siguen formando parte de los procedimientos de la siempre álgida y renovada demarcación de límites, la instalación de satélites permite que los operadores equipados con dispositivos GPS (Gobal Positioning System) tomen datos sin necesidad de visualizar el otro vértice del triángulo, y vuelven obsoletas las tablas logarítmicas. 

Hoy, mientras los procesos de obtención de mediciones, sus geometrías profundas y su mapeo se dispersan en instancias automatizadas cada vez más inmateriales, pero no menos disputadas, la línea de las fronteras “calientes” se vuelve cada vez más sólida. La geometría, despojada casi por completo de sus prácticas y auxiliares materiales, sigue presente, sin embargo, en los proyectos y los muros que demarcan los estados, a la vez que se hace instrumento de las voces críticas que reclaman por un orden más justo.

Figura 2
Muros fronterizos

Mapa  Descripción generada automáticamente

Fuente: Recuperado de iconoclasistas.net.

Bibliografía

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Benedetti, A. y Salizzi, E. (2014). Frontera en la construcción del territorio argentino. Cuad. Geogr. Rev. Colomb. Geogr., 23, (2), 121-138.

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Mazzitelli Mastricchio, M. (2009). Límite y cartografía en la frontera argentina durante el último tercio del siglo XIX. En: Mendoza Vargas, H. y Lois, C. (coord.), Historias de la Cartografía Iberoamericana. Nuevos caminos, viejos problemas. México: Instituto de Geografía, UNAM.

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